Algebraické chápání jednotek Ukážeme si, jak si pomocí algebry můžeme odvodit jednotky například u jednoduchých fyzikálních příkladů.

Už jsme se mnohokrát setkali s tím, že vzdálenost může být vyjádřena jako rychlost krát čas. V tomhle videu bych chtěl využít tento jednoduchý vztah, tuto jednoduchou rovnici, abychom pochopili, že na jednotky můžeme pohlížet jako na algebraické objekty, že s nimi můžeme ve vztahu či v rovnici zacházet jako s proměnnými. Což může být nesmírně užitečné k tomu, abychom se ujistili, že dostáváme výsledky v jednotkách, které skutečně dávají smysl. Takže když vám třeba někdo zadá rychlost, když vám zadá rychlost, řekněme, 5 metrů v sekundě a zadá vám čas, časový úsek 10 sekund, tak můžete krásně přímočaře použít tento vztah. Řekneme si, dobře, naše vzdálenost je rovna naší rychlosti 5 metrů v sekundě násobené naším časem, což je 10 sekund. A tady je příjemné, že s jednotkami, jak jsem právě řekl, můžeme zacházet jako s algebraickými objekty, obdobně jako s proměnnými. Takže tohle by bylo rovno… Při násobení je jedno, v jakém pořadí násobíme. Takže můžeme zaměnit pořadí. Tohle je totéž jako 5 krát 10. 5 krát 10 krát metry v sekundě, krát metry v sekundě, krát sekundy. A pokud bychom měli chápat jednotky jako druh algebraických objektů, mohli bychom si říct: hele, máme sekundy děleno sekundy, anebo máme sekundy ve jmenovateli násobené sekundami v čitateli. Ty se vykrátí. A 5 krát 10 je samozřejmě … 50. Takže nám vyjde 50 a jednotky, které nám zůstaly, jsou metry: 50 metrů. Tak, to je příjemné. Jednotky sedí. Když jsme jednotky chápali jako algebraický objekt, vykrátily se tak, že naší výslednou jednotkou pro vzdálenost byly metry, což je jednotka vzdálenosti. Teď si říkáte - tak prima, to je milé a tak, ale připadá mi to jen jako starosti navíc, když upravuji takto jednoduchý vztah. Chtěl bych vám však ukázat, že dokonce i pro jednoduchý vztah jako "vzdálenost se rovná rychlost krát čas" může být to, co jsem udělal, užitečné. A právě tomu, co jsem udělal, se říká rozměrová analýza. A je užitečná pro tak jednoduché vztahy jako zde, ale když vkročíte na půdu fyziky, chemie a techniky, objevíte mnohem, mnohem, mnohem ošklivější vztahy. A když provedete rozměrovou analýzu, tak si ověříte, že vaše matematika je v pořádku. Ověříte si, že dostáváte správné jednotky. Ale i s tímto si vyzkoušejme o něco složitější příklad. Řekněme, že naše rychlost je, řekněme, ponechme rychlost na 5 metrech v sekundě. Ale řekněme, že nám někdo zadal čas. Namísto sekund nám jej zadal v hodinách. Takže nám zadali časový úsek rovný 1 hodině. Takže zkusme využít tento vztah. Takže naše vzdálenost bude rovna 5 metrům v sekundě, 5 metrům v sekundě krát čas, což je 1 hodina, krát 1 hodina. Ale co nám tohle dá? Dobře, 5 násobí 1, takže vynásobíme 5 krát 1. To nám dá 5. Vzpomeňme si však, že je třeba chápat jednotky algebraicky. A tady provedeme rozměrovou analýzu. Takže to je 5, pak máme metry v sekundě krát hodiny. Nebo můžeme říct 5 metr hodin v sekundě. Tohle nevypadá jako… sada jednotek, které by nám dávaly smysl. Tohle nepůsobí jako naše tradiční jednotky vzdálenosti, takže bychom se toho rádi zbavili. A už vás může napadnout - dobře, kdybychom se mohli zbavit hodin, kdybychom je mohli vyjádřit v sekundách, pak by se to tady vykrátilo a nám by zbyly metry, což je naše známá jednotka vzdálenosti. Takže jak to provedeme? Tento výraz bychom rádi vynásobili něčím, co bude mít hodiny ve jmenovateli a sekundy v čitateli. V podstatě sekundy za hodinu. Takže, kolik máme sekund v hodině? Je jich 3 600 (napíšu to touhle barvou), v jedné hodině je 3 600 sekund, nebo můžeme také říct, že na každou 1 hodinu připadá 3 600 sekund. Takže když teď budete násobit, tyto hodiny se vykrátí s těmito hodinami, tyto sekundy se vykrátí s tamtěmi sekundami, a zbývá nám ... 5 krát 3 600, kolik to je? 5 krát 3 000 by bylo 15 000, 5 krát 600 je dalších 3 000. Takže, celkově je to rovno 18 000 a jediná jednotka, která nám zbyla, jsou tady ty metry. 18 … je to 18 tisíc. 18 000 metrů, správně? Takže to máme hotové. Právě jsme si vyjádřili svou vzdálenost v jednotkách, které známe. Pokud se pohybujete rychlostí 5 metrů v sekundě, za hodinu ujdete 18 000 metrů. Ale ještě si s rozměrovou analýzou trochu pocvičme. Co když jsme nechtěli odpověď v metrech, ale v kilometrech? Co můžeme dělat? Můžeme vzít těch 18 000 metrů, a kdybychom je mohli vynásobit něčím, co má metry ve jmenovateli a kilometry v čitateli, tak by se tyto metry vykrátily a nám by zůstaly kilometry. Takže, čím můžeme násobit, abychom nezměnili hodnotu? V podstatě bychom rádi násobili číslem 1, takže chceme mít stejnou věc v čitateli i ve jmenovateli. Takže, 1 kilometr je roven 1 000 metrům. Můžeme se na to tedy dívat tak, že jen násobíme číslem 1. 1 kilometr děleno 1 000 metrů. Přitom 1 kilometr je 1 000 metrů. Takže toto je rovno 1. Ale je dobré, že když násobíme, vykrátí se nám metry s metry, až nakonec zůstane 18 000 děleno 1 000 je rovno 18 a jediné jednotky, které nám zbývají, jsou kilometry. A jsme hotovi, svou vzdálenost jsme si vyjádřili v jednotkách kilometrů namísto původních metrů.