Binomická věta
Přihlásit se
Binomická věta (1/6) · 13:15

Úvod do binomické věty Co je ta binomická věta a k čemu nám slouží? Ukážeme si její předpis a taky si budeme muset trochu oprášit kombinační čísla a s tím spojené faktoriály.

Navazuje na Kořeny mnohočlenů.
Netrvá dlouho uvědomit si, že s vyššími mocninami dvojčlenů to může být dost složité, ale podívejme se na pár případů, abychom zjistili, jak moc rychle se ta složitost zvětšuje. Když vezmeme dvojčlen (a plus b), je to dvojčlen, protože to má dva členy, vezměme to umocněné na nultou. Cokoliv nenulového umocněného na nultou je rovno 1. To nebylo tak špatné. A teď co (a plus b) umocněno na prvou? To bude jen (a plus b). A co (a plus b) umocněno na druhou? Takže teď, pokud jste neprocvičovali umocňování dvojčlenu, budete možná chtít říct, že to je (a na druhou) plus (b na druhou), ale to je špatně. Jestli byste tohle napsali, měli byste se plácnout přes ruce nebo přes mozek nebo tak něco. (a plus b) na druhou není (a na druhou) plus (b na druhou). Je to (a plus b) krát (a plus b). Když tohle uděláte, získáte a krát a, což je a na druhou, plus a krát b, což je ab, plus b krát a, což je zase ab, plus b krát b, což je b na druhou. Máte tady dvakrát ab, takže je můžete sečíst, takže se to rovná (a na druhou) plus 2ab plus (b na druhou). Teď to začne být trochu víc zajímavé. Čemu se bude rovnat (a plus b) na třetí? Doporučuji vám zastavit video a zamyslet se nad tím. No, víme, že (a plus b) na třetí se rovná ((a plus b) na druhou) krát (a plus b). Takže to vynásobme, ať vidíme, co vyjde. Udělám tohle. Podívejme se. Vynásobme tohle (a plus b). Budu to násobit takhle. Nejdřív vynásobím vše členem b. Udělám to v zelené barvě. b krát (b na druhou) je b na třetí. b krát 2ab je 2a(b na druhou), tedy 2a(b na druhou), a b krát (a na druhou) je b(a na druhou), neboli (a na druhou)b. …(a na druhou)b. Vynásobil jsem b tímhle vším. Teď tím vším vynásobme ,a'. a krát (b na druhou) je a(b na druhou), a krát 2ab je 2(a na druhou)b, …2(a na druhou)b… a pak ,a' krát ,a' na druhou je ,a' na třetí. A teď když to všechno dáme dohromady, dostaneme ,a' na třetí plus, podívejme se, máme jedno (a na druhou)b a k tomu další, další dvě (a na druhou)b. To bude 3(a na druhou)b plus 3a(b na druhou). 2a(b na druhou) plus další a(b na druhou) je 3a(b na druhou), plus b na třetí. Takže jen třetí mocnina nám zabrala docela dost času, takže si umíte představit, jak složité bude (a plus b) na čtvrtou, anebo ještě hůř, (a plus b) na desátou, nebo dokonce na dvacátou. To by vám zabralo celý den nebo možná ještě déle. To by bylo neuvěřitelně moc složité. Tady začne být užitečná binomická věta. Co je binomická věta? Binomická věta nám říka, napíšu to sem dolů, binomická věta. Binomická věta nám říká, že pokud máme dvojčlen, a zůstaňme u toho (a plus b), pokud máme… A pokusím se to udělat hezky barevně. Pokud máme ten dvojčlen (a plus b) a budeme ho umocňovat na n-tou, chci ho umocnit na n-tou, tak nám binomická věta říká, že to bude rovno, a zápis bude vypadat nejdřív trochu složitě, ale pak se podíváme na určitý příklad, bude to rovno součtu pro ,k' od 0 do ,n', toto ,n' a toto ,n' jsou ta samá čísla, součtu z… Nechci… …to je docela křiklavá barva… …součtu (n nad k), a to si zopakujeme za chvilku, pochází to z kombinatoriky, (n nad k) krát (a na (n minus k))… …krát (b na k-tou). …b umocněno na k. Vypadá to trošku těžkopádně. Zopakujme si, co je vlastně (n nad k). Když se řekne (n nad k), udělám to stejnou barvou, pamatujeme si z kombinatoriky, že se to rovná: n faktoriál děleno (k faktoriál krát (n minus k) faktoriál)… …(n minus k), z toho faktoriál. Takže (n minus k) faktoriál, udělám to barevně, (n minus k) faktoriál. Zkusme to použít. Zkusme to použít na příklad, který se nám už nechtělo počítat, řekněme (a plus b) na čtvrtou. Pojďme zjistit, jak to bude. Zkusme tohle. Pokusím se to udržet hezky barevně, abyste věděli, co se tam děje. a plus b… I když mi to zabere víc času, když budu měnit barvy, ale snad to za to stojí. a plus b. Umocněme to na čtvrtou. Binomická věta nám říká, že to bude rovno, a použiju stejný zápis, bude to rovno součtu pro ,k' od 0, pro ,k' od 0 do 4, z (4 nad k)… …4 nad k… To ,k' udělám fialově. (4 nad k) krát (a na (4 minus k))… …umocněno na (4 minus k)… …krát (b na k-tou). A to bude rovno čemu? No, prostě to sečtěme. Tohle bude rovno… Začneme od ,k' rovno 0, takže když se ,k' rovná 0, bude to… (4 nad 0) krát (a na (4 minus 0)), to bude tedy jen ,a' na čtvrtou, krát b na nultou. b na nultou je rovno 1, takže sem dáme prostě 1, jestli chceme, anebo to necháme takhle. Tohle dostaneme, když se ,k' rovná 0. Teď k tomu přidáme výraz pro ,k' rovno 1. Když je ,k' rovno 1, tak to bude… Koeficient bude (4 nad 1), a to bude vynásobeno (a na (4 minus 1)), neboli ,a' na třetí, a zůstanu u téhle barvy, krát (b na k-tou). Teď když ,k' je 1, tak je to b na první. A k tomu přidáme… Přidáme (4 nad 2) krát (a na… No, ,k' je teď 2. 4 minus 2 je 2. ,a' na druhou. Asi už vidíte ten vzorec. a na čtvrtou, a na třetí, a na druhou, a násobení (b na k-tou). Tedy ,k' je teď 2, takže b na druhou, a zase vidíte ten vzorec. b na nultou, b na první, b na druhou… A už sem máme přidat jen dva další členy, plus (4 nad 3) krát, 4 minus 3 je 1, krát (a na první), neboli a, a pak b na třetí, a pak už jen jeden další člen, plus (4 nad 4). 4 nad 4. ,k' je teď 4. To bude náš poslední člen. Máme ,k' jdoucí od 0 až k 4, 4 nad 4. ,a' na (4 minus 4), to bude 1, protože ,a' na nultou je 1, takže nám zůstane jen b na k-tou a ,k' je 4. Jsme skoro hotovi. Rozvedli jsme to. Musíme přijít jen na to, co je 4 nad 0, 4 nad 1, 4 nad 2, a tak dále, takže to pojďme vymyslet. Mohli bychom aplikovat tohle pořád dokola. Takže 4 nad 0 je rovno: (4 faktoriál) děleno ((0 faktoriál) krát ((4 minus 0) faktoriál)) To bude zase 4 faktoriál. 0 faktoriál, alespoň pro tyto účely, definujeme jako rovno 1, takže tahle celá věc bude 1, takže ten koeficient je 1. Podívejme. Zůstaneme u toho. Takže 4 nad 1 bude: (4 faktoriál) děleno ((1 faktoriál) krát ((4 minus 1) faktoriál))… …(4 minus 1) faktoriál, tedy 3 faktoriál. Kolik to bude? 1 faktoriál je prostě 1. 4 faktoriál je 4 krát 3 krát 2 krát 1. 3 faktoriál je 3 krát 2 krát 1. Ujasním to. 4 krát 3 krát 2 krát 1, to celé děleno (3 krát 2 krát 1), to bude po vykrácení rovno 4. Tohle tady bude rovno 4. Pak musíme zjistit, kolik je 4 nad 2. 4 nad 2 bude rovno: (4 faktoriál) děleno ((2 faktoriál) krát co je 4 minus… …tohle bude n minus k… …4 minus 2… Takže kolik to bude? Posunu se tady doprava. To bude (4 krát 3 krát 2 krát 1) děleno (2 krát 2). Tohle je 2, tohle je 2, takže 2 krát 2 je 4. Zůstává nám 3 krát 2 krát 1, což se rovná 6. To je rovno 6. Takže kolik je 4 nad 3? Použiju trochu místa dole. Takže 4 nad 3, to je: (4 faktoriál) děleno ((3 faktoriál) krát ((4 minus 3) faktoriál)), takže to bude 1 faktoriál. O tom už víme, kolik to je. To je stejné jako tady. Jen vyměníte 3 faktoriál a 1 faktoriál. Už jsme přišli na to, že to bude rovno 4. Je to rovno 4. A 4 nad 4? No to bude, napíšu to sem, 4 nad 4 je (4 faktoriál) děleno ((4 faktoriál) krát (0 faktoriál)), což je úplně stejné, jako máme tady, a to bylo rovno 1. Takže takhle jsme hotovi. Byli jsme schopni zjistit, čemu se rovná (a plus b) na čtvrtou. Je to (a na čtvrtou) plus 4(a na třetí)b… …plus 6(a na druhou)(b na druhou) plus… …plus 4a(b na třetí) plus (b na čtvrtou). Vlastně to tu celé napíšu, když jsme si s tím dali tu práci. To je rovno (a na čtvrtou) plus, plus 4(a na třetí)b, plus 6(a na druhou)(b na druhou), plus… …plus… …asi tu vidíte ten vzorec, plus 4a(b na třetí), plus (b na čtvrtou)… …plus (b na čtvrtou). Je tu zajímavý vzorec. Je tu symetrie mezi koeficienty, je tam postupně 1, 4, 6 u prostředního členu, a pak je zase 4 a potom zase 1. Pak ještě vidíte ten vzorec, kde začínáte s ,a' na čtvrtou, ,a' na třetí, ,a' na druhou, ,a', a pak můžete říct, že tu je ,a' na nultou, a pak začínáte s b na nultou, které jsem takhle nenapsal, je to rovno 1, potom b na první, b na druhou, b na třetí, b na čtvrtou. Tohle je jen jedno použití, jeden příklad. V dalších videích uděláme víc příkladů na binomickou větu a také zkusíme pochopit, proč to funguje.
video