Hledání kořenů nulových polynomů Nyní máme za úkol pomocí vytýkání nalézt reálné kořeny mnohočlenu pátého stupně. Zopakujeme si, že kořeny odpovídají průsečíkům funkce s osou x.

Máme tu mnohočlen pátého stupně p(x) a máme několik úkolů. Nejprve najít kořeny v množině reálných čísel... A připomeňme si, co je to kořen: Kořeny jsou vlastně nulové body a jsou to hodnoty proměnné 'x', pro které je mnohočlen roven nule. Takže reálnými kořeny budou hodnoty 'x', pro které je p(x) rovno nule. Hodnoty 'x', které toto splňují, jsou kořeny a hledáme ty reálné. V budoucnu zjistíte, že mohou existovat také imaginární kořeny. Pak máme zjistit, kolikrát graf p(x) prochází osou x. Jak uvidíme, osou x bude procházet tolikrát, kolik má p(x) reálných kořenů... Tedy kolik má jedinečných reálných kořenů. Tolikrát bude procházet osou x. Jak to víme? Představme si libovolný mnohočlen. Tady jsou osy grafu: osa x a osa y. Teď nakreslíme graf nějakého mnohočlenu, třeba takto, a podíváme se, co se tu děje. Podle grafu funkce se bude p(x) pro tuto hodnotu 'x' rovnat nule. To znamená, že je to kořen. Toto bude další kořen, protože funkce se pro tuto hodnotu 'x' taky rovná nule. Pro tuto hodnotu se rovná nule. Pro tuto hodnotu se rovná nule. Když graf prochází osou x, 'y' se v tom bodě rovná nule. Funkce se bude rovnat nule. Toto je graf hodnot 'y'... 'y' je rovno p(x). Ne nutně tomuto p(x), teď jenom kreslím nějaké libovolné p(x). Je tam nějaká hodnota 'x', pro kterou se funkce rovná nule. A v tom bodě graf prochází osou x. Zajímá nás, kolikrát graf prochází osou x. Jak uvidíte, bude to i počet reálných kořenů, reálných nulových bodů. A pak máme za úkol najít z těchto kořenů ten nejmenší pro tento konkrétní mnohočlen. Jenom si tu udělám trochu více místa... Takže jdeme na to. Hledáme hodnoty, pro které platí p(x) se rovná 0. Takže tady ta pravá strana se má rovnat nule, takže to napíšeme a vyřešíme. Máme za úkol vyřešit tuto rovnici a najít hodnoty 'x', pro které se rovná 0. Dosazením do funkce musíme dostat jako výsledek nulu. Ok... První věc, co asi uvidíte, je, že všechny ty členy jsou dělitelné 'x'. 'x' tedy můžeme vytknout, takže můžeme napsat, že x krát (x na čtvrtou plus 9x na druhou minus 2x na druhou minus 18) je rovno nule. Možná vás mohlo napadnout... (Mě to napadlo teď, když jsem to zapisoval.) Jsou tu dva členy třetího stupně. Po vytknutí 'x' už to jsou dva členy druhého stupně. Může být lákavé je prostě sečíst a byl by to zcela normální způsob, jak toto rozložit na součin, abychom vyřešili rovnici. Ale místo tohoto postupu toto můžeme brát jako náznak, že bychom mohli rozkládat seskupováním. Při rozkladu seskupováním rozdělíme člen prostředního stupně a zkusíme, zda je možné obrátit distribuční zákon. Uvidíme, jestli to jde. Je možné seskupit první dva členy a něco zajímavého z nich vytknout? Nebo seskupit tyto další dva členy a něco z nich vytknout? Pak možná jde vytknout něco dalšího. O čem mluvím? Toto bude rovno 'x' krát... (Tady napíšu velké závorky...) Tady toto se bude rovnat... Můžu vytknout 'x na druhou'. Bude to x na druhou plus... Pardon... Bude to x na druhou, když vytknu x na druhou, dostanu x na druhou plus 9. A potom tady, když vytknu... Tak se podívejme, -2... Nechci... Když vytknu -2, dostanu... Takže -2... Dostanu opět x na druhou plus 9. Toto je zajímavé, protože pak možná můžeme vytknout (x na druhou plus 9). Vytknu tedy (x na druhou plus 9) z obou těchto členů a dostanu... Potom dostanu 'x'... (Prozatím tady nechám ty velké zelené závorky...) Když vytknu (x na druhou plus 9), bude to (x na druhou plus 9) krát x na druhou... (x na druhou minus 2). (x na druhou minus 2), a nechal jsem si tady trochu moc prostoru, takže to smažu... Tohle můžu smazat a pak tady uzavřu závorky... Uzavřít závorky... Těch zelených závorek se teď vlastně můžu zbavit, chci to v ideálním případě trochu zjednodušit. Prozatím jsme to dostali do tvaru x krát (x na druhou plus 9) krát (x na druhou minus 2). Rozkládám to na součin, protože když se součin několika výrazů rovná nule, můžu říci, že součin těch výrazů bude roven nule, když alespoň jeden výraz bude roven nule. Tak můžu najít 'x'. Takže... Tento výraz je zcela rozložen. Tento je úplně rozložen, jestliže řešíme v množině reálných čísel. Tento je vlastně rozdíl čtverců, jestli vidíte dvojku jako odmocninu ze dvou na druhou. Můžeme to přepsat jako... Samozřejmě se to vše rovná nule... Jenom napíšu rovnítko... Napíšeme to jako x krát (x na druhou plus 9) krát... Takže toto rozložím na (x plus odmocnina ze dvou) krát (x minus odmocnina ze dvou). Jenom přepisuji rozdíl čtverců. A stále vše chceme vyřešit tak, aby to bylo rovno nule. Celá tato strana má být rovna nule. Jak se může rovnat nule? Pro všechny ty výrazy platí, že když je vynásobím a jeden z nich je roven nule, dostanu jako výsledek nulu. Takže 'x' se může rovnat 0... 'x' je rovno 0... To je vlastně jeden z kořenů. Když 'x' je rovno nule, celý mnohočlen se rovná nula. Je celkem snadné si to ověřit. Dále: Může se 'x na druhou' plus 9 rovnat nule? 'x na druhou' plus 9 je rovno 0. Když od obou stran odečtete 9, vyjde, že 'x na druhou' je rovno -9. Pro toto neexistuje řešení v množině reálných čísel. Žádná reálná řešení, jenom to napíšu... Žádná reálná řešení. Jsou tam nějaká imaginární, ale žádná reálná. Dále: Může se 'x' plus odmocnina ze 2 rovnat nule? 'x' plus odmocnina ze dvou je rovno 0. Ano: odečteme od obou stran odmocninu ze 2 a vyjde, že 'x' je rovno minus odmocnina ze 2. A může se 'x' minus odmocnina ze 2 rovnat nule? Ano, přičteme odmocninu ze 2 k oběma stranám a vyjde, že 'x' je rovno odmocnině ze 2. Tohle je hotové. Našli jsme nulové body. 'x' se může rovnat 0, p(0) se rovná 0. p( - odmocnina ze 2) se rovná 0 a p(odmocnina ze 2) se rovná 0. To jsou nulové body. Nulové body jsou 0, minus odmocnina ze 2 a odmocnina ze 2. Tím pádem graf prochází osou x celkem třikrát. A který z nich je nejmenší? Nejmenší číslo, které tu máme, je záporná odmocnina, minus odmocnina ze 2. Toto by šlo řešit i jinak. Můžete v této části... Kde? Ano, tady... Můžete sečíst tyto dva prostřední členy a rozložit je bez seskupování. Doporučil bych vám si to zkusit. A abych věděl, že vše dává smysl a že graf skutečně prochází osou x v nulových bodech, šel jsem na Wolfram|Alpha, zadal jsem tam tento mnohočlen a zobrazilo se mi toto. Tohle mi to nakreslilo, tady to. Když je mnohočlen pátého stupně, může mít až 5 nulových bodů. Když jsou však některé imaginární, nebude všech pět reálných. Tento mnohočlen má jen tři. Je to proto, že imaginární kořeny, o kterých budu mluvit v budoucnu, jsou v takovýchto dvojicích. Když tedy není pět reálných kořenů, další možnost je, že budou tři reálné kořeny. A když nejsou ani tři, tak zbývá možnost, že bude jeden reálný kořen. Je zajímavé nad tím popřemýšlet. Tady vidíte tři reálné kořeny... Tři reálné kořeny, které odpovídají hodnotám 'x', pro které je funkce rovna 0 a graf prochází osou x.