Základní věta algebry Co nám říká takzvaná základní věta algebry? Mnohočlen má vždy stejně kořenů jako je jeho řád. Někdy tyto kořeny nejsou reálné, nýbrž imaginární.

Základní věta algebry. Základní, napíšu to, věta algebry nám říká, že pokud máme polynom n-tého stupně, napišme si to. Řekněme, že máme funkci p(x), která je definovaná polynomem neboli mnohočlenem n-tého stupně. Řekněme, že to je a(x na n-tou) plus b(x na (n minus 1)) a tak dále až do konstanty na konci. Takže to je polynom n-tého stupně. Základní věta algebry nám říká, že tento polynom n-tého stupně bude mít přesně n kořenů. Jiný způsob, jak to popsat, je, že pro x bude existovat přesně n hodnot, ve kterých se tento polynom, tento výraz napravo, bude rovnat 0. Nejdřív si můžete říct: "Fajn, to dává smysl." Už jste viděli polynomy druhého stupně, jejichž grafy vypadaly nějak takto. Tohle je osa y a tohle osa x. Víme, že polynom druhého stupně nám dá parabolu, takže to bude vypadat nějak takhle a to vám dává smysl. Fajn, tohle je druhý stupeň, tohle je druhý stupeň a vidíme, že funkce se rovná 0 na právě dvou místech. Má to přesně dva kořeny. Má to dva kořeny, takže to odpovídá základní větě algebry. A také si umíte představit polynom třetího stupně, který vypadá nějak takto. Tohle je osa y. Tohle je osa x. Můžete si představit polynom třetího stupně, který vypadá nějak takto. Bam, bam, bam, a jde to dál. A tady vidíte, že to je polynom třetího stupně a že má jedna, dva, tři kořeny. A můžu mít i polynom čtvrtého stupně. Možná to vypadá nějak takhle, jde to nějak tudy a vy si řeknete: "Fajn, to dává smysl." Bude to mít jedna, dva, tři, čtyři kořeny. Ale pak si možná vzpomenete, že se to ne vždycky chová takhle. Například, několikrát jsme viděli paraboly, viděli jsme polynomy druhého stupně, které vypadaly spíš takhle a neprotínaly osu x. A to vypadá, že je v rozporu se základní větou algebry. Základní věta algebry říká, že pokud máme polynom druhého stupně, tak bychom měli mít přesně dva kořeny. No a tady je řešení. Základní věta algebry rozšiřuje náš obor čísel. Není řeč jen o reálných kořenech, ale také o komplexních kořenech. A navíc nám základní věta algebry dovoluje i to, aby i koeficienty byly komplexní. Takže koukáme na tyhle první příklady, na ty s reálnými kořeny, a reálná čísla jsou podmnožinou komplexních čísel. Takže tady jsme měli dva reálné kořeny. Tady jsme měli tři reálné kořeny. V této oranžové funkci jsme měli čtyři reálné kořeny. V této žluté funkci, této žluté parabole, v polynomu druhého stupně, nemáme žádné reálné kořeny. Proto nevidíte, že by se to protínalo s osou x. Ale budeme mít dva komplexní kořeny. Takže tohle tady bude mít dva komplexní kořeny. A ty komplexní kořeny, ty nereálné kořeny, protože jinak jsou reálná čísla podmnožinou komplexních, se vždy vyskytují v párech. A to uvidíme v dalších videích. Takže například, když máte polynom třetího stupně, může to vypadat nějak takto. Polynom třetího stupně může vypadat nějak takhle, kdy má jeden reálný kořen. Ale základní věta algebry nám říká, že musí mít nutně ještě dva další kořeny, protože je to třetí stupeň. Takže víme, že ty další dva kořeny musí být komplexní. A teď, může nastat situace, kdy jsou všechny tři kořeny komplexní? Přesněji, můžete mít tři nereálné kořeny? Je to možné pro polynom třetího stupně? Odpověď je ne, protože komplexní kořeny, jak uvidíme v dalších videích, se vždy vyskytují v párech. Vyskytují se v párech, ve kterých jsou si navzájem komplexně sdružené. Takže můžete mít polynom čtvrtého stupně, který nemá žádné reálné kořeny, například… Může to vypadat nějak takto. V tomto případě byste měli dva páry komplexních kořenů neboli čtyři nereálné komplexní kořeny. A mohli byste je dát do dvou párů, kde v každém by byla čísla komplexně sdružená. A to uvidíme v příštím videu.