Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (13/18) · 4:13

Rovnice s logaritmy s neznámou v argumentu Teď, když už známe a umíme využívat vlastnosti logaritmů, pusťme se do řešení rovnic s nimi.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Máme vyřešit logaritmus 'x' plus logaritmus 3 je rovno 2 krát logaritmus -4 minus logaritmus 2. Pojďme si to rozepsat. Máme logaritmus 'x' plus logaritmus 3 se rovná 2 krát logaritmus 4 minus logaritmus 2. Vzpomeňte si, logaritmus, u kterého není napsán základ, má implicitně základ 10. Můžeme tedy dopsat 10 tady, tady, tady a tady Ale dále v tomto příkladu psaní 10 přeskočím. Kvůli úspoře času. Zapamatujte si, znamená to logaritmus o základu 10. Tento výraz je mocnitel, kterým umocním 10, abych dostal 'x'. Mocnitel, kterým umocním 10, abych získal 3. Podívejme se, jaké vlastnosti logaritmů můžeme použít. Všechny mají stejný základ. Mám-li logaritmus o základu 'a' z 'b' plus logaritmus o základu 'a' z 'c', je to to samé jako logaritmus o základu 'a' z 'b krát c'. Napíšu sem všechny vlastnosti logaritmů, které známe. Také víme, že když máme logaritmus… 'b' krát logaritmus o základu 'a' z 'c' je logaritmus o základu 'a' z 'c na b'. Rovněž víme, to je snadno odvozeno z obou těchto vlastností, že logaritmus o základu 'a' z 'b' minus logaritmus o základu 'a' z 'c' je rovno logaritmus o základu 'a' z 'b lomeno c'. To se snadno odvodí z těchto předchozích. Podívejme se tedy, co použijeme. Zde máme všechny logaritmy o stejném základu. Máme logaritmus 'x' plus logaritmus 3, podle této vlastnosti zde, o součtu logaritmů se stejným základem, to bude rovno logaritmus o základu 10 z '3x'. Na základě této vlastnosi zde může být toto přepsáno. To bude rovno logaritmu o základu 10 z '4 umocněno na 2', což je 16. Zde máme stále minus logaritmus o základu 10 z 2. Pomocí této poslední vlastnosti… Máme logaritmus minus logaritmus. To bude rovno logaritmu o základu 10 z (16 lomeno 2), 16 lomeno 2, to je rovno 8. Pravá strana se zjednoduší na logaritmus o základu 10 z 8. Levá strana je logaritmus o základu 10 z (3x). Pokud 10 umocněno na 'něco' je rovno 3x a 10 umocněno na to stejné je rovno 8. 3x se tedy musí rovnat 8. 3x se rovná 8. Vydělíme obě strany 3, dostaneme 'x' se rovná (8 lomeno 3). V tomto kroku jsem řekl… Toto je mocnina, umocním-li 10 na toto, dostanu 3x. 10 umocněno na toto je rovno 8. 8 a 3x tedy si musí být rovny. Nebo také jinak, Umocněme 10 na výrazy na obou stranách. 10 umocním na toto zde a 10 umocním na toto tady. Umocním-li 10 na mocninu, na kterou musím umocnit 10, abych dostal 3x, dostanu 3x. Umocním-li 10 na mocninu, na kterou musím umocnit 10, abych dostal 8, dostanu 8. Opět, 3x se rovná 8, což se dá upravit a 'x' se rovná (8 lomeno 3).
video