Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (15/18) · 5:12

Řešení exponenciální funkce Máme zadanou exponenciální funkci a zajímá nás, kdy se bude rovnat určité funkční hodnotě. V tomto příkladu je krásně vidět propojení exponenciálních funkcí a logaritmů. Navíc si znovu procvičíme vzorec na změnu základu logaritmu.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Řekněme, že máme funkci y se rovná 5 krát 2 na t. Někdo by k vám přišel a řekl: "Hej, podívej, to je ale zajímavá funkce. Ale já jsem zvědavý, líbí se mi číslo 1 111. A jsem zvědavý, pro jaké 't' bude moje 'y' rovno 1 111." Doporučuji vám pozastavit toto video a chvíli o tom přemýšlet. Pro jakou hodnotu 't' bude naše 'y' rovno či alespoň přibližně rovno 1 111. Pokud potřebujete, můžete použít kalkulačku. Předpokládám, že jste to zkusili. Pojďme to zkusit společně. Takže chceme říct, kdy se 5 krát '2 na t' rovná 1 111. Zapišme si to. Kdy se 5 krát 2 na t rovná se 1 111. Kdykoliv děláme něco algebraicky, je vždy užitečné zkusit, jestli můžeme osamostatnit proměnnou, kterou se snažíme vyřešit. Hledáme takové t, pro které se levá strana rovná pravé. Dobrý začátek může být zbavit se této 5 z levé strany rovnice, takže vydělme levou stranu 5. Pokud chceme udržet rovnost, uděláme stejnou operaci na obou stranách. Dostaneme 2 na t… 2 na t se rovná 1 111 děleno 5. Jak zde vyřešíme t? Jaká funkce je inverzní k exponenciální funkci? Ano, bude to logaritmus. Řekněme, že 'a na b' se rovná 'c'. Pak to znamená, že logaritmus 'c' o základu 'a' se rovná 'b'. 'A na b' se rovná 'c'. Logaritmus 'c' o základu 'a' říká: Jakou mocninu 'a' potřebuji, abych dostal 'c' ? Potřebuji umocnit 'a' na 'b', abych dostal 'c'. A na b rovná se c. Tyto 2 rovnice jsou ekvivalentní. Mějme logaritmus o základu 2 na obou stranách této rovnice. Na levé straně máme logaritmus '2 na t' o základu 2. A na pravé straně máme logaritmus '1 111 děleno 5' o základu 2. Proč je toto zde potřeba? Jakou mocninou musíme umocnit 2 abychom dostali '2 na t' ? Abychom dostali '2 na t', musíme umocnit 2 na 't'. Tato věc se dá zjednodušit… Tato věc se dá zjednodušit na t. A na pravé straně máme logaritmus o základu 2 a máme zde všechny tyto věci. Jen to teď přepíšu, t se rovná logaritmus '1 111 děleno 5' o základu 2. To je výraz, který nám vrátí naši hodnotu 't', ale další otázkou je, jak zjistíme, co je toto. Pokud si vezmete kalkulačku, rychle zjistíte, že nemá žádné tlačítko pro "logaritmus o základu 2", takže, jak to vlastně spočítáme? Jen musíme aplikovat velmi užitečnou vlastnost exponentů. Pokud máme logaritmus o základu 2 v podstatě čehokoliv. Zapíšu to takto. Jestliže máme logaritmus 'c' o základu 'a', můžeme to spočítat jako logaritmus 'c' o libovolném základu, děleno logaritmus 'a' o stejném libovolném základu. Tyto libovolné základy musí být shodné. Kalkulačka se hodí, protože má logaritmy. Když zmáčkněte log, je to logaritmus o základu 10. Pokud zmáčknete ln, je to přirozený log nebo log o základu 'e'. Rád používám log o základu 10, takže toto bude stejné jako log '1 111 děleno 5' o základu 10 děleno log 2 o základu 10. Můžeme vytáhnout kalkulačku a mohli bychom použít jako základ 'e', což by byl přirozený logaritmus. Ale použiji tlačítko log. Toto je logaritmus '1 111 děleno 5'… Takže to je ta část tady. Toto je implicitně log o základu 10, to je vlastně tlačítko log jako takové. Děleno log 2 o základu 10. To nám dá 7 a spoustu desetinných míst, ale přibližně je to rovno 7,796. Toto je rovno přibližně 7,796. Takže pokud je 't' zhruba stejné, potom se 'y' bude rovnat 1 111.
video