Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (16/18) · 5:42

Porovnání exponenciální a logaritmické funkce Pojďme si pomocí tabulky nakreslit graf exponenciální a příslušné logaritmické funkce. Na vlastní oči pak uvidíme, co to znamená, že tyto dvě funkce jsou navzájem inverzní.

Navazuje na Racionální mocniny II.
V tomto videu bych rád nakreslil graf mocninné funkce, poté i graf logaritmické funkce a srovnal, jak spolu souvisí. Funkce, které vykreslím, budou 'y' se rovná '2 umocněno na x', a 'y' je logaritmus o základu 2 z 'x'. Vyzývám vás, pozastavte si video, udělejte si tabulku a pokuste se oba grafy nakreslit. Podívejte se, jakou mají mezi sebou souvislost a až to uvidíte, přemýšlejte nad tím, proč spolu takto souvisí. Začněme s 'y' se rovná '2 na x'. Udělám zde tabulku, nějaké hodnoty 'x' a k nim odpovídající 'y'. Začněme s -2, -1, 0, 1, 2, 3. V každém případě bude 'y' rovno 2 umocněno na toto číslo. '2 umocněno na -2' je (1 lomeno 4). '2 umocněno na -1' je (1 lomeno 2). '2 umocněno na 0' je 1. '2 umocněno na 1' je 2. '2 umocněno na 2' je 4. '2 umocněno na 3' je 8. Nakresleme to. '2 umocněno na 3' je 8. '2 umocněno na 2' je 4. '2 umocněno na 1' je 2. '2 umocněno na 0' je 1. '2 umocněno na -1' je (1 lomeno 2). '2 umocněno na -2' je (1 lomeno 4). Dokonce '2 umocněno na -3' je (1 lomeno 8). Bude to vypadat takto. Graf bude vypadat nějak takto. Klasická mocninná funkce. Někdy se tomu říká 'hokejkový graf', protože to vypadá jako hokejka. Začíná to pomalu a pak BUM!, vystřelí to takto nahoru. Všimněte si, že s klesajícím 'x' se to blíží nule, ale nikdy to nebude nula. Budeme-li mít '2 umocněno na -1 000 000', bude to velmi malé číslo, velmi blízké 0, ale nebude to úplně nula. Budeme mít vodorovnou asymptotu v 'y' je rovno 0. Osa 'x' je vodorovná asymptota. Dobrá tedy. Nyní vykresleme 'y' je rovno logaritmus o základu 2 z 'x'. Než to vykreslím, zamysleme se nad jiným způsobem zápisu. Doslova to říká, pro každé 'x', jaký mocnitel 'y' čísla 2 mi dá 'x'? To je stejné tvrzení jako říct '2 na y' je rovno 'x'. Všimněte si, že jsme jen přehodili 'x' a 'y'. Tady je '2 na x' je rovno 'y'. Zde je '2 na y' je rovno 'x'. Opravdu jsme jen přehodili 'x' a 'y'. V podstatě tu můžeme jen přehodit tyto dva sloupce 'x' a 'y'. Napíšu tedy: (1 lomeno 4), (1 lomeno 2), 1, 2, 4 a 8. Nyní se ptám, když 'x' je (1 lomeno 4), na co musím umocnit 'y', abych dostal 'x'? Musíme 'y' umocnit na -2. '2 umocněno na -1' je rovno (1 lomeno 2). '2 umocněno na 0' je rovno 1. '2 umocněno na 1' je rovno 2. '2 umocněno na 2' je rovno 4. '2 umocněno na 3' je rovno 8. Všimněte si, jen jsme v podstatě prohodili tyto dva sloupce. Nakresleme si to. Když 'x' je (1 lomeno 4), 'y' je rovno -2. Když 'x' je (1 lomeno 2), 'y' je rovno -1. Když 'x' je 1, 'y' je rovno 0. Když 'x' je 2, 'y' je rovno 1. Když 'x' je 4, 'y' je rovno 2. Když 'x' je 8, 'y' je rovno 3. Bude to vypadat takto. Všimněte si, už v tom asi vidíte vzor. Tyto dva grafy jsou v podstatě překlopením jeden druhého. Podle čeho byste je museli překlopit? Museli byste je překlopit podél osy 'y' se rovná 'x'. Pokud byste přehodili 'x' a 'y'… Jinými slovy, pokud byste vyměnili osy, dostali byste ten druhý graf. To je v podstatě to, co zde děláme. Všimněte si, je to symetrické podle té osy a to protože jsou navzájem inverzní. V podstatě jsme prohodili 'x' a 'y'. S klesajícím 'x' vidíte, že se 'y' blíží nule. Tady vidíte, s klesajícím 'y' se 'x' blíží nule. Nebo s 'x' jdoucím k nule je 'y' menší a menší. Smyslem je ocenit vztah mezi mocninnou a logaritmickou funkcí. Jsou k sobě navzájem inverzní. Vidíte to na grafu, jsou jen překlopeny podél osy 'y' je rovno 'x'.
video