Logaritmy
Přihlásit se
Logaritmy (12/18) · 4:59

Změna základu logaritmu - důkaz V předchozích dvou videích jsme počítali příklady s pomocí vzorce na změnu základu logaritmu. Teď si pro všechny případy dokážeme jeho platnost.

Navazuje na Racionální mocniny II.
V tomto videu bych chtěl dokázat pravidlo o změně základu logaritmu, které zní… Raději to napíšu… Pokud chci najít logaritmus x o základu a, mohu ho najít také pomocí logaritmu o jiném základu. Toto by se tedy rovnalo logaritmu x o základu b, tedy o jiném základu, logaritmu x o základu b děleno logaritmem a o základu b. A to je velice užitečný výsledek. Pokud vaše kalulačka umí pouze přirozený nebo dekadický logaritmus, můžete toto pravidlo použít k vyčíslení logaritmu o jakémkoli základu. Pokud chcete vyčíslit logaritmus o základu 2… Ujasním. Pokud chcete vyčíslit logaritmus o základu například 3 třeba z 25, můžete na kalkulačce použít log o základu 10 nebo o základu 2. Takže toto se bude rovnat log 25 o základu 10… A většina kalkulaček má pro něj tlačítko. Děleno log 3 o základu 10. Takže toto je aplikace pravidla o změně základu logaritmu. Ale nyní si ho pojďme dokázat. Takže řekněme, že chceme… Položme log x o základu a rovno nějaké nové proměnné. Nazvěme ji y. Takže zde pouze položíme y rovno tomuto výrazu. Toto je však pouze jiný způsob, jak napsat, že a na y se rovná x. Proto to můžeme přepsat: a na y rovná se x. Napíšu to x až sem, protože chci… Tyto dvě věci se rovnají. Toto je pouze jiný způsob zápisu toho, co jsme napsali výše. Nyní použijeme logaritmus o základu b. A abychom to udělali, prostě obě strany rovnice zlogaritmujeme logaritmem o základu b. Takže zlogaritmujeme levou stranu logaritmem o základu b, a pravou stranu logaritmem o základu b. Ale z vlastností logaritmu víme, že logaritmus z něčeho umocněného na nějakou mocninu, je totéž jako tato mocnina krát log z toho něčeho. Takže logaritmus 'a na y' o základu b je totéž co y krát logaritmus a o základu b. Toto je pouze klasická vlastnost logaritmu. Důkaz ještě uděláme. Tedy víme, že se to bude rovnat pravé straně. Tedy bude se to rovnat log x o základu b. A nyní rovnici vyjádřeme y. A je to opravdu vzrušující díky této věci. Pokud nyní vyjádříme y, bude to pomocí logaritmů o základu b. Takže abychom vyjádřili y, pouze vydělíme obě strany rovnice log a o základu b. Takže log a o základu b vydělíme levou i pravou stranu. A tak se nám na levé straně tyto dva výrazy vykrátí. A zbyde nám… A zasloužíme si fanfáry… Že y je rovno log x o základu b děleno log a o základu b. Napíšu to… Pouze to zkopíruji, ať pořád nemusím měnit barvy. Vložím toto. Tak tady to máte. Máme pravidlo pro změnu základu logaritmu. Uvědomte si, že y je totéž co tamhleta věc. Y je logaritmus a. Ujasním. Y, které se rovná log a, který se rovná log x o základu a… Vložím to… Y se rovná této věci, tak jsme si ho přece definovali přesně tady, y je log x o základu a, právě jsme ukázali, že se to rovná tomuto, kde je v základu b. A máme pravidlo o změně základu logaritmu.
video