Racionální mocniny I
Přihlásit se
Racionální mocniny I (9/16) · 10:18

Usměrňování zlomků Usměrňování zlomků je proces, při kterém se snažíme zbavit odmocniny ve jmenovateli. Jak na to? V určitých příkladech je to přímočaré, jindy je nutné použít vzoreček.

Navazuje na Výrazy s mocninami.
V tomto videu se naučíme, jak racionalizovat jmenovatel. Co tím myslíme je… Řekněme, že máme zlomek s iracionálním jmenovatelem. Nejjednodušší, který mě napadá, je 1 lomeno odmocnina ze 2. Abychom racionalizovali tento jmenovatel, musíme vyjádřit toto číslo tak, aby ve jmenovateli nebylo iracionální číslo. První otázka, která vás napadne je: „Sale, proč to vůbec děláme? Proč musíme racionalizovat jmenovatele?“ No, nemusíte je racionalizovat, ale myslím si, že důvodem, proč se tohle v mnoha školách dělá a proč to po vás učitelé chtějí, je dostat čísla na společný formát. A také, jak mi bylo v mládí řečeno, ještě než jsme měli kalkulačky, že některé způsoby výpočtů jsou jednodušší, pokud máme ve jmenovateli racionální číslo. Nevím, jestli je to pravda. Dalším důvodem je čistě estetická stránka věci. Někteří lidé říkají: „Nerad říkám, kolik je 1 odmocnina ze dvoutin.“ Vůbec nevím. Chci vědět, jak je velký koláč. Chci, aby jmenovatel byl racionální číslo. Když jsem to tak řekl, naučme se, jak zlomek zracionalizovat. Jednodušší cesta, máte-li jednoduché iracionální číslo ve jmenovateli, můžete vynásobit čitatel i jmenovatel tím iracionálním číslem. To je zcela zřejmě 1. Cokoliv lomeno tím stejným bude prostě 1. V podstatě to číslo nijak neměníme. Jen měníme způsob, jakým ho vyjadřujeme. Takže čemu se to bude rovnat? Jmenovatel bude 1 krát odmocnina ze 2, což je odmocnina ze 2. Čitatel bude (odmocnina ze 2) krát (odmocnina ze 2). (odmocnina ze 2) krát (odmocnina ze 2) je 2. Je to 2. Podle definice, tohle umocněno na druhou musí být 2. My to umocňujeme, násobíme to tím stejným. Takže se to rovná 2. Racionalizovali jsme jmenovatel. Nezbavili jsme se odmocniny, ale dostali jsme ji do čitatele a ve jmenovateli nám zůstalo racionální číslo. Můžete si říct „Teď mám odmocninu ze 2 polovin.“ Taky se to snadněji říká, což je také další důvod, proč racionalizovat jmenovatel. Pojďme si udělat ještě pár příkladů. Řekněme, že mám 7 lomeno (odmocnina z 15). První věc, co chci udělat, je zjednodušit tuto odmocninu. Odmocnina z 15. 15 je 3 krát 5. Ani jedno z čísel není úplným čtvercem. Takže vlastně tohle je nejjednodušší forma. Stejně jako jsme to udělali zde, pojďme to vynásobit (odmocnina z 15) lomeno (odmocnina z 15). To se tedy bude rovnat 7 krát odmocnina z 15 Jen vynásobíte čitatele. …lomeno odmocnina z 15 krát odmocnina z 15. To je 15. Opět se nám podařilo racionalizovat jmenovatel. Ten je nyní racionálním číslem. V podstatě jsme dostali odmocninu nahoru, neboli iracionální číslo do čitatele. Číslo jsme nijak nezměnili, jen jsme upravili, jak ho reprezentujeme. Pojďme zkusit něco složitějšího. Co se stane, máme-li 12 lomeno (2 minus odmocnina z 5)? V tomto případě máme ve jmenovateli dvojčlen a tento dvojčlen obsahuje iracionální číslo. Nemohu použít ten trik. Vynásobím-li to odmocninou z 5 lomeno odmocnina z 5, jmenovatel bude pořád iracionální. Ukážu vám to, abyste viděli, že to nefunguje. Vynásobím-li to odmocninou z 5 lomeno odmocnina z 5, čitatel bude 12 krát odmocnina z 5. Ve jmenovateli to musíme roznásobit, bude to 2 krát odmocnina z 5 minus odmocnina z 5 krát odmocnina z 5, což je 5. Vidíte, že to v této situaci nepomohlo. Přestože se tato část stala racionální, tato část je najednou iracionální. 2 krát odmocnina z 5. Toto nechcete dělat, máte-li dvojčlen, s iracionálním číslem, ve jmenovateli. V tomto případě využijeme znalosti rozdílu čtverců. Udělejme si malou odbočku. Naučili jsme se to už dávno. Možná ne tak dávno. Máte-li (2 minus odmocninu z 5) a vynásobíte to (2 plus odmocnina z 5), co dostanete? Teď si můžete vzpomenout. Pokud to okamžitě nepoznáváte, je to ten stejný vzorec jako (a minus b) krát (a plus b). Což je 'a na druhou' minus 'b na druhou', jak víme z minulých videí. Malá připomínka. Tohle je 'a' krát 'a', což je 'a na druhou', 'a' krát 'b', to je 'ab', '-b' krát 'a', to je '-ab', '-b' krát '+b', to je minus 'b na druhou'. Tyto členy se vykrátí a zbyde nám 'a na druhou' minus 'b na druhou'. (2 minus odmocnina z 5 ) krát (2 plus odmocnina z 5) to bude rovno 2 na druhou, což je 4… Napíšu to takto. Bude to 2 na druhou minus (odmocnina z 5) na druhou, což je 5. Bude to rovno 4 minus 5, tedy -1. Vezmete-li v potaz výhodu rozdílu čtverců, tedy jejich rozkladu na součin, pak můžete racionalizovat jmenovatel. Tak to udělejme. Přepišme si ten příklad. 12 lomeno (2 minus odmocnina z 5). V tomto případě vynásobím čitatel i jmenovatel (2 plus odmocnina z 5). Znovu připomínám, násobím to 1. Neměním hodnotu toho čísla, jen měním způsob, jakým to číslo zapisuji. Čitatel bude 12 krát 2, což je 24, plus 12 krát odmocnina z 5. Znovu připomínám, tohle je součin vzniklý z rozdílu čtverců. Tohle bude rovno 2 na druhou, což se bude rovnat přesně tomuto. Tedy 4 minus 1, nebo… Omlouvám se, 4 minus 5. 2 na druhou minus (druhá odmocnina z 5) na druhou. Je to tedy 4 minus 5. Nebo bychom to mohli napsat jako -1. Nebo sem můžeme napsat 1 a minus dát před zlomek. Pak nemá vůbec smysl dávat 1 do jmenovatele. Mohli bychom jen napsat, že je to -24 minus 12 krát (odmocnina z 5). V tomto případě šlo zjednodušování snadno. Nebyla to jen racionalizace jmenovatele, dokonce to teď i vypadá lépe. Nevím, jestli jsem to zmínil na začátku, ale je to dobré, neboť to není hned jasné. Chceme-li oba postavit raketu a vy dostanete tuto odpověď a já dostanu tuto, není hned jasné, aspoň ne pro mě, že jde o ta samá čísla. Domluvíme-li se však na racionalizaci jmenovatelů, pak oba dostaneme stejné číslo. Teď můžeme poslat raketu na Mars. Udělejme ještě jeden takový příklad. Udělejme příklad s proměnnými. Řekněme, že máme '5y' lomeno 2 krát (odmocnina z 'y') minus 5. Použijeme úplně stejný proces. Máme dvojčlen s iracionálním jmenovatelem. Mohl by být racionální, nevíme, co je 'y'. 'y' ale může být libovolné, někde to bude iracionální. Proto nechceme odmocninu ve jmenovateli. Kolik to tedy bude? Vynásobme čitatel i jmenovatel 2 krát (odmocnina z 'y') plus 5. Tohle je 1. Neměníme to číslo, jen ho násobíme 1. Začněme se jmenovatelem. Čemu se bude rovnat jmenovatel? Jmenovatel bude roven tomuto na druhou… Znovu připomínám, rozdíl čtverců. Je to [2 krát (odmocnina z 'y')] na druhou minus 5 na druhou. Pokud byste udělali součin, dostali byste (2 krát (odmocnina z 'y') plus 5) krát (2 krát (odmocnina z 'y') minus 5) To je rozdíl čtverců. Čitatel bude 5y krát 2 krát odmocnina z 'y'. Tohle bude 10, tohle je 'y' na prvou, toto 'y' na jednu polovinu, Můžeme psát 'y' krát odmocnina z 'y'. 10 krát 'y' krát odmocnina z 'y'. Nebo 'y' na tři poloviny nebo 'y' na jedna plus jedna polovina, jak jen budete chtít. A nakonec, 5y krát 5 je 25y. A ještě to můžeme zjednodušit. Čemu se bude rovnat jmenovatel? Budeme mít 2 na druhou, to je 4. (odmocnina z 'y') na druhou je 'y'. 4y. A pak minus 25. Náš čitatel zde… Dokonce bychom to mohli psát takto. Mohli bychom to nechat přesně jak to je. Můžeme vytknout 'y'. Je mnoho způsobů, co s tím. Aby to bylo jednoduché, necháme to jako 10. Napíšu jinak. Mohl bych napsat, že tohle je 'y' na prvou a že tohle je 'y' na jednu polovinu. Můžu napsat 'y' na tři poloviny, kdybych chtěl. Nebo 'y' na jedna plus jedna polovina, kdybych chtěl. Nebo 10 krát 'y' krát odmocnina z 'y'. Všechno je ekvivalentní. …plus 25y. Snad vám racionalizace jmenovatele přišla zajímavá.
video