Racionální a iracionální čísla
Přihlásit se
Racionální a iracionální čísla (2/9) · 7:47

Je √2 iracionální číslo? Pojďme si zkusit vydělit dvě celá čísla a podívat se, jestli pomocí podílu dokážeme dostat √2.

Navazuje na Vlastnosti čísel.
V tomto videu bych vám chtěl dokázat, že odmocnina ze 2 je iracionální. Použiji na to důkaz sporem. Důkaz sporem je založen na tom, že předpokládáme opak. Pro důkaz sporem budeme předpokládat opak. Předpokládejme, že odmocnina ze 2 racionální je. A poté se pokusíme dojít ke sporu, který by toto tvrzení vyvrátil. Pokud neplatí to, že je racionální… Pokud dojdeme ke sporu za předpokladu, že odmocnina ze 2 je racionální, tak to znamená, že odmocnina ze 2 musí být iracionální. Takže předpokládejme opak. Odmocnina ze 2 je racionální. Pokud je odmocnina ze 2 racionální, znamená to, že jí můžeme napsat jako zlomek dvou celých čísel, ‚a‘ a ‚b‘. Také předpokládáme, že ‚a‘ a ‚b‘ nemají společného dělitele. Řekněme, že nemají společného dělitele. Pokud vydělíme čitatel a jmenovatel společným dělitelem, pak se opět dostaneme do situace, kdy nemají společného dělitele. Dá se také říct, že ‚a‘ a ‚b‘ jsou nesoudělná. Což se dá také vyjádřit jako zlomek dvou celých číslech, která jsou dále nedělitelná, jelikož nemají žádného společného dělitele. Pokud napíšete jako podíl dvou celých čísel, tak můžeme čísla dále zjednodušovat, vytýkat všechny společné dělitele až do bodu, kdy jsou čísla dále nedělitelná. Takže budu předpokládat, že zlomek (a děleno b) je dále nedělitelný. To je důležité pro náš důkaz sporem. Takže budu předpokládat, že tohle je dále nedělitelné, ‚a‘ a ‚b‘ nemají žádné společné dělitele. To si tady poznamenám, jelikož je to pro důkaz důležité, ‚a‘ a ‚b‘ nemají, kromě 1, žádného společného dělitele. (a děleno b) již nelze zkrátit. Tyhle dvě čísla jsou nesoudělná. K čemu nám to je? Zkusme tuto rovnici trochu upravit. Umocněme obě strany rovnice na 2. Pokud umocníme odmocninu ze 2 dostaneme 2. A to se bude rovnat (a na 2 lomeno b na 2). (a lomeno b) na 2 je to stejné jako (a na 2 lomeno b na 2). Teď můžeme obě strany rovnice vynásobit (b na 2). Dostaneme tak (2 krát b na 2) se rovná (a na 2). Co nám to říká o (a na 2)? (a na 2) je (b na 2 krát 2). Takže cokoli krát 2 bude celé číslo. Předpokládali jsme, že ‚b‘ je celé číslo, takže (b na 2) musí být celé číslo, takže máte celé číslo krát 2, což vám musí dát sudé číslo. Musí vám to dát sudé celé číslo. To znamená, že (a na 2) musí být sudé číslo. Proč je to zajímavé? (a na 2) je výsledkem dvou čísel nebo vlastně výsledkem stejného čísla. Je to (a krát a). Lze tedy říct, že (a krát a) je sudé číslo. Co nám to říká o ‚a‘? Připomeňme si, že ‚a‘, o kterém předpokládáme, že je celé číslo, bude buď sudé nebo liché. Musíme si připomenout, že když násobíme sudé číslo sudým, dostaneme sudé číslo. Pokud vynásobíme liché číslo lichým, dostaneme liché číslo. Takže máme číslo krát totéž číslo. My máme sudé číslo. Jediným způsobem, jak ho získat je, že to číslo bude sudé. To nám říká, že ‚a‘ je sudé. Je-li ‚a‘ sudé číslo, můžeme také říct, že ‚a‘ je zastoupeno (2 krát celé číslo). Řekněme, celé číslo ‚k‘. Kam tím vším míříme? Jak uvidíte, tento postup můžeme použít, abychom ukázali, že ‚b‘ musí být také sudé. Na chvíli se nad tím zamysleme. Vraťme se k 2(b na 2) rovná se (a na 2). Řekneme, že ‚a‘ může představovat dvakrát výsledek celého čísla, což vychází ze skutečnosti, že ‚a‘ je sudé číslo. Pak můžeme (2(b na 2) rovná se (a na 2)) přepsat jako 2(b na 2) se rovná (2k na 2). Místo (a na 2) můžu napsat (2k na 2). Předpokládáme, že ‚a‘ je sudé číslo. Pokud je ‚a‘ sudé číslo, tak může být zapsáno jako 2 krát nějaké celé číslo. Potom můžeme napsat, že (2b na 2) se rovná 4(k na 2). Potom vydělíte obě strany 2. Dostanete (b na 2) se rovná 2(k na 2). Což nám říká, že (k na 2) bude celé číslo. Jakékoli celé číslo krát 2 bude sudé číslo. Takže (b na 2) je sudé číslo. Pokud je (b na 2) sudé číslo, tak můžeme opět odvodit, že ‚b‘ je sudé číslo. A tady je náš spor. Předpokládali jsme, že ‚a‘ a ‚b‘ nemají společného dělitele, kromě čísla 1. Předpokládali jsme, že tenhle zlomek (a lomeno b) nelze víc zkrátit. Ale z tohohle předpokladu, a faktu, že (a lomeno b) musí být (odmocnina ze 2 na 2), jsme odvodili, že ‚a‘ i ‚b‘ jsou sudá čísla. Pokud jsou ‚a‘ i ‚b‘ sudá čísla, obě jsou dělitelná 2, tak (a lomeno b) lze zkrátit. Mohli byste vydělit čitatele i jmenovatele 2, ‚a‘ a ‚b‘ mají společného dělitele 2. Poznačím si to, aby to bylo jasnější. Takže z tohoto a tohoto máme, že ‚a‘ a ‚b‘ mají společného dělitele 2, což znamená, že (a lomeno b) ještě lze zkrátit 2. A v tom vězí náš spor. Předpokládáte, že odmocnina ze 2 může být zapsána jako nedělitelný zlomek (a lomeno b). Nedělitelný proto, že poměr dvou celých čísel, který vás vede k onomu sporu, že ve skutečnosti tento zlomek dělit lze. Takže nemůžeme provést tento předpoklad. Vede ke sporu. Druhá odmocnina ze 2 musí být číslo iracionální.
video