Racionální a iracionální čísla
Přihlásit se
Racionální a iracionální čísla (3/9) · 7:28

Je odmocnina z prvočísla iracionální číslo? Dokážeme si opět sporem, že odmocnina z prvočísla bude vždy iracionální číslo.

Navazuje na Vlastnosti čísel.
V minulém videu jsme díky důkazu sporem dokázali, že odmocnina ze 2 je iracionální číslo. V tomhle videu chci použít stejný argument jen obecněji, abych dokázal, že odmocnina jakéhokoli prvočísla je vždy iracionální číslo. Předpokládejme tedy, že ‚p‘ je prvočíslo. A nastavíme to tak, abychom dospěli k důkazu sporem. Budeme tedy předpokládat, že druhá odmocnina z ‚p‘ je racionální číslo, a uvidíme, jestli tak dojdeme k logickému sporu. Pokud je číslo racionální, znamená to, že ho můžeme vyjádřit zlomkem o dvou celých číslech. A když můžeme něco vyjádřit zlomkem o dvou celých číslech, můžeme to vyjádřit i zlomkem dvou nesoudělných číslech, tedy číslech bez společného dělitele. To znamená, že takový zlomek již nelze dále krátit. Takže předpokládejme, že tenhle zlomek, tedy (a lomeno b), nelze již dále krátit. Jak to? No, odmocninu racionálního čísla, v tomto případě ‚p‘, mohu vyjádřit zlomkem o dvou celých číslech. No a tak můžu čitatele i jmenovatele dělit společným dělitelem, až se nakonec dostanu ke zlomku, který již nelze krátit. Takže to předpokládám i o tomto zlomku. Už ho nelze krátit. A že ho nelze krátit je pro nás důležité. Znamená to totiž, že ‚a‘ a ‚b‘ jsou nesoudělná čísla, takže nemají kromě jedničky žádného společného dělitele. Pojďme teď tuhle rovnici trošku upravit. Obě strany umocníme. Tak zjistíme, že ‚p‘ se rovná… No, (a lomeno b) na 2 je to samé jako (a na 2) lomeno (b na 2). Obě strany vynásobíme (b na 2) a máme (b na 2) krát p rovná se (a na 2). Co nám to prozradilo o (a na 2)? No, ‚b‘ je celé číslo. Takže (b na 2) je taky celé číslo. Takže: nějaké celé číslo krát p rovná se (a na 2). To znamená, že (a na 2) musí být násobkem ‚p‘. Napíšu vám to. Takže: (a na 2) je násobkem p. Takže, co nám to říká o ‚a‘? Znamená to, že ‚a‘ musí být zároveň i násobkem ‚p‘? Abychom se nad tím zamysleli, zamysleme se nejdřív nad prvočíselným rozkladem ‚a‘. Řekněme, že ‚a‘ může být, stejně jako jakékoli jiné číslo, rozloženo na prvočísla, jako každé celé číslo. Pojďme si teď prvočíselný rozklad ‚a‘ vypsat. Dejme tomu, že mám první činitel f1 krát druhý činitel f2 a dál až n-tý činitel fn. Nevím, na kolik činitelů je ‚a‘ skutečně možno rozložit. Jen vím, že ‚a‘ je nějaké celé číslo. Takže tohle je prvočíselný rozklad ‚a‘. Jak na prvočísla rozložit (a na 2)? No, (a na 2) je vlastně (a krát a). Prvočíselný rozklad se tedy rovná (f1 krát f2) a tak dál až po fn. A to celé pak vynásobíme: f1 krát f2 … krát fn. Můžu to klidně přeskládat: (f1 krát f1) krát (f2 krát f2) až po fn krát fn. Už víme, že (a na 2) je násobkem ‚p‘ a ‚p‘ je prvočíslo, tedy ‚p‘ je jedním z činitelů v prvočíselném rozkladu ‚a‘. ‚p‘ by mohlo být f2, nebo by mohlo být f1, ale jedním z těchto činitelů zkrátka být musí. Takže ‚p‘ je jedním z těchto činitelů. Takže řekněme, že ‚p‘, a teď vybírám náhodně… Řekněme, že p je f2. A pokud p je f2, znamená to, že ‚p‘ je činitelem z rozkladu ‚a‘. Z toho můžeme vyvodit, že ‚a‘ je násobkem ‚p‘. Dá se to říct i tak, že ‚a‘ je (nějaké celé číslo krát ‚p‘). Co je na tom zajímavého? Moment, ještě dám tohle do rámečku, protože to později znovu použijeme. Jak ale použít tohle? Stejně jako u důkazu, že odmocnina ze 2 je iracionální číslo. Tohle teď vložíme zpátky do téhle rovnice. Takže máme (b na 2) krát p. Máme ((b na 2) krát p) rovná se (a na 2), ‚a‘ teď můžeme vyjádřit jako (nějaké celé číslo k krát p). Takže tohle můžeme přepsat na: nějaké celé číslo k krát p. A když si to teď vynásobíme, tak dostaneme: (b na 2) krát p, asi už vidíte, kam tím mířím, rovná se (k na 2 krát p na 2). Obě strany teď vydělíme ‚p‘ a dostaneme: (b na 2) rovná se p krát (k na 2). Neboli (k na 2) krát p. Podle stejného argumentu, jaký jsme použili dřív, platí, že když (a na 2) se rovná (b na 2 krát p), pak je (a na 2) násobkem p. A teď to vezmeme z opačného konce: (b na 2) se rovná mocnině nějakého celého čísla, která bude celé číslo krát p. Čili (b na 2) musí být násobkem p. Takže teď víme, že (b na 2) je násobkem p. Podle té samé logiky platí, že ‚b‘ je násobkem ‚p‘. To je ten logický spor, který jsme hledali. Předpokládali jsme, že ‚a‘ a ‚b‘ jsou nesoudělná čísla, že nemají kromě 1 žádného společného dělitele. Předpokládali jsme, že tenhle zlomek již nelze krátit. A pak jsme jen z téhle rovnice odvodili, že ‚a‘ i ‚b‘ jsou násobky ‚p‘. Což znamená, že tento zlomek lze krátit. Čitatel i jmenovatel můžeme krátit ‚p‘. Takže to je logický spor. Začali jsme s tím, že zlomek nelze krátit, ale ukázalo se, že to není pravda a že krátit rozhodně lze. Čitatel i jmenovatel mají společného dělitele ‚p‘. Tím jsme tedy stanovili logický spor. Druhá odmocnina p tedy nemůže být racionálním číslem. Druhá odmocnina p je tak číslo iracionální. Moment, napíšu to. Druhá odmocnina p je iracionální číslo, což jsme dokázali sporem.
video