Racionální a iracionální čísla
Přihlásit se
Racionální a iracionální čísla (4/9) · 5:33

Mezi každými dvěma racionálnmi čísly bude iracionální číslo Ukážeme si, že na jakákoliv dvě racionální čísla si vezmeme, vždycky mezi nimi budeme schopni najít nějaké iracionální číslo.

Navazuje na Vlastnosti čísel.
V tomto videu bych chtěl dokázat, že mezi každými dvěma racionálními čísly - řekněme, že tady máme racionální číslo a tady je další racionální číslo, které je větší než toto číslo - že mezi každými dvěma racionálními čísly lze najít číslo iracionální. Takže tohle číslo je iracionální. Můžeme najít alespoň jedno iracionální číslo. To zní šíleně, protože racionálních čísel je velmi mnoho. Racionálních čísel je nekonečně mnoho. Tedy tvrdíme, že mezi každými dvěma z těchto racionálních čísel můžeme vždy najít iracionální číslo. A naše úvahy započneme tím, že se zaměříme na interval mezi 0 a 1. Tedy když se zamyslíme nad intervalem 0 až 1, víme, že zde mají ležet iracionální čísla. Vlastně jedno, které vás možná napadne, je 1 lomeno odmocnina ze 2, což je totéž jako odmocnina ze 2 lomeno 2. To je rovno - tedy ne rovno, ale je to přibližně 0.70710678118. A takhle bych mohl pokračovat dál a dál a dál a dál a dál a dál. V tomto výčtu se nic neopakuje. Důležité je to, že zjevně leží mezi 0 a 1. Takže mohu psát, že 1 lomeno odmocnina ze 2 leží mezi 0 a 1. Takže způsob jakým se budu snažit dokázat, že mezi každými dvěma racionálními čísly leží i iracionální, je ten, že začnu touto sérií nerovností a upravím je natolik, že na závěr získáme r1 zde a r2 tady. A poté díky 1 lomeno odmocnina ze 2 upravím toto abych vytvořil to iracionální číslo - alespoň jedno z nich, které je mezi těmi dvěma racionálními. Pojďme místo tady toho intervalu 0 až 1 vytvořit interval mezi 0 a rozdílem těchto dvou čísel. Rozdíl r1 a r2 je r2 minus r1. Pojďme vynásobit obě strany... Všechny tři části této nerovnosti, řekl bych výrazem r2 minus r1. Tak do toho. Když vynásobíme toto, 0 krát r2 minus r1, pořád zde bude vycházet 0. To je menší než... A víme, že r2 je větší než r1, takže r2 minus... vysvětlím vám, co teď děláme. Vynásobíme všechno (r2 minus r1). Předpokládáme, že r2 je větší než r1, takže toto bude určitě větší než 0. Takže když vynásobíte každou stranu nerovnosti něčím větším než 0, nerovnosti se neotáčí. Tedy 0 krát tohle je 0, 1 lomeno odmocnina ze 2 krát toto bude 1 lomeno odmocnina ze 2 krát (r2 minus r1). A to bude menší než 1 krát toto bude r2 minus r1. A nyní se jakoby všechno posune. Přičtěme ke všemu r1. Pokud přičítáme cokoliv ke všem částem nerovnosti, tak se nám nerovnost opět nezmění. Takže přičteme r1 sem. Dále přičteme r1 sem. A také přičteme r1 sem. Tím na levé straně získáme r1 je menší než r1 plus... Jenom nakopíruji a vložím toto celé takže nebudu muset přepínat barvy. Jej, to není to co jsem si přál. Zkusím tohle. Konečně. Fajn. Takhle by to mělo být dobré. Zkopíruji a vložím. r1 plus tohle... Napíšu mezi to plus... Plus tohle je menší než... To je ale jiný odstín modré... Je menší než... Kolik je r1 plus r2 minus r1? To je jednoduše r2. Čili jsem právě ukázal, že když vezmete jakákoliv dvě racionální čísla, a předpokládáme, že r2 je větší než r1, tak jsem právě sestrojil iracionální číslo, které bude mezi těmito dvěma racionálními čísly. Vezmete r1, vezmete menší z obou racionálních čísel, přičtete k němu 1 lomeno odmocnina ze 2 krát rozdíl obou dvou racionálních čísel, čímž získáte tohle iracionální číslo. Asi si říkáte: „Jak můžu vědět, že tenhle výraz... Jak si mám být jistý, že je iracionální?“ To už jsme ale viděli. Vezmete součin iracionálního a racionálního čísla, tím získáte iracionální číslo. Vezmete součet iracionálního čísla a racionálního čísla, vyjde zase iracionální číslo. Takže jsme vytvořili iracionální číslo, které je mezi dvěma racionálními.
video