Racionální a iracionální čísla
Přihlásit se
Racionální a iracionální čísla (8/9) · 3:15

Součin racionálního a iracionálního čísla Bude součin racionálního a iracionálního čísla číslo iracionální? A nebo číslo racionální?

Navazuje na Vlastnosti čísel.
V tomto videu bych rád rychlým důkazem demonstroval, že vezmeme-li racionální číslo a vynásobíme-li ho číslem iracionálním, tak dostaneme zase číslo iracionální. Schválně si video zastavte a zamyslete se, jestli byste důkaz napsali sami. A já Vám poradím. Můžeme to dokázat sporem. Předpokládejme, že racionální číslo krát iracionálním je racionální číslo, a poté různými operacemi vidíte, jestli můžete tvrdit, že najednou toto iracionální číslo musí být jaksi racionální. Takže předpokládám, že jste to zkusili. Tak si to pojďme promyslet. Řekl jsem, že to uděláme přes důkaz sporem. Předpokládejme tedy, že racionální číslo krát iracionální číslo vyjde jako racionální číslo. Tak řekněme, že toto… Aby představovalo toto racionální číslo tady, tak pojďme si to vyjádřit jako zlomek dvou čísel (a nad b). A pak tedy toto iracionální číslo, nazvu si ho prostě ‚x‘. Takže my tvrdíme, že (a lomeno b) krát x může vyjít jako nějaké racionální číslo. Tak si ho nazvěme (m lomeno n). Nazvěme si tuhle rovnost jako (m lomeno n). Takže předpokládám, že racionální číslo, které může být vyjádřené jako podíl 2 celých čísel, krát iracionální číslo mi vychází jako další racionální číslo. Tak se pojďme podívat, jestli můžeme přijít s nějakým sporem v tomto případě. Vyřešme tu rovnici pro iracionálním číslo. Nejlepší je si vynásobit 2 strany převrácenými hodnotami tohoto čísla. Takže pojďme násobit krát (b lomeno a), krát (b lomeno a). A co nám teda zbyde? Dostaneme, že se naše iracionální číslo x rovná m krát b… A nebo jsme mohli jednoduše napsat jako (mb lomeno na). A čím je toto zajímavé? No, ‚m‘ je celé číslo, ‚b‘ je celé číslo, takže celý čitatel je také celé číslo. A potom celý jmenovatel je celé číslo. Takže tady jsem dostal poměr 2 celých čísel. Takže jsem právě vyjádřil to, o čem jsme si mysleli, že je iracionální číslo, tak já ho právě vyjádřil jako poměr 2 celých čísel. Tím pádem ‚x‘ musí být racionální. A tohle je ten spor, protože jsme považovali ‚x‘ za iracionální. A proto, jelikož tato domněnka tu vede ke sporu, tak tato domněnka je neplatná. A platí, že racionální krát iracionální číslo je zase číslo iracionální.
video