Racionální a iracionální čísla
Přihlásit se
Racionální a iracionální čísla (9/9) · 3:24

Součet racionálního a iracionálního čísla Co když sečtu racionální a iracionální číslo? Bude výsledkem racionální nebo iracionální číslo?

Navazuje na Vlastnosti čísel.
Zajímalo by mě, co by se stalo, kdybych vzal racionální číslo a přičetl jej k iracionálnímu číslu. Bude výsledné číslo racionální či iracionální? Předpokládejme, že bude racionální a uvidíme, jestli to povede ke sporu. Předpokládejme, že nám to dá racionální číslo. Řekněme, že první číslo můžeme vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, 'a' a 'b'. Nazvěme toto iracionální číslo jako 'x'. Jejich součet nám dá jiné racionální číslo. Vyjádřeme to jako podíl jiných celých čísel, 'm' a 'n'. Tvrdíme, že (a lomeno b) plus x je rovno (m lomeno n). Jinými slovy, mohli bychom odečíst (a lomeno b) od obou stran, pak bychom dostali naše iracionální číslo 'x' je (m lomeno n) minus (a lomeno b), což je stejné jako 'n' krát 'b' ve jmenovateli… Podívejme, (m lomeno n) je stejné jako ('mb' lomeno 'nb'). Tohle by tedy bylo 'mb'. Pouze sečítám zlomky. 'mb' minus… (a lomeno b) je stejné jako ('na' lomeno 'nb'). Takže minus 'n' krát 'a'. Pouze jsem sečetl dva zlomky. Našel jsem společný jmenovatel. Aby to bylo jasné, tohle jsem vynásobil 'b', poté jsem vynásobil tohle 'n' a pak jsem jen sečetl tyto dva výrazy a dostal jsem tento výraz vpravo. Jmenovatel je zřejmě celé číslo, mám součin dvou celých čísel, to bude celé číslo. To bude celé číslo. Pak čitatel, 'mb' je celé číslo, 'na' je celé číslo, rozdíl dvou celých čísel. Tohle celé bude celé číslo. Zdá se, že předpokládáme-li, že součet je racionální, pak tu najednou dostáváme spor. Předpokládáme, že 'x' je iracionální, ale najednou, díky tomuto předpokladu, jsme schopni to vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Toto nám říká, že 'x' je racionální. A to je spor. To je velký spor. Předpokládali jsme, že 'x' je iracionální. Tady dostáváme, že 'x' je racionální. Proto to nemůže být pravda. Racionální číslo plus iracionální číslo musí… Toto tedy není správně. Racionální číslo plus iracionální musí být iracionální! Zapíšu to. Racionální číslo plus iracionální musí být iracionální!
video