Inverzní funkce
Přihlásit se
Inverzní funkce (2/5) · 4:37

Jak najdeme inverzní funkci? Zadali nám předpis funkce a naším úkolem je napsat k ní funkci inverzní. Brzy zjistíme, že jde vlastně jen o vyjadřování neznámé z výrazu.

Navazuje na Složené funkce.
h(x) je rovno minus třetí mocnině z (3x minus 6) plus 12. A co chceme vypočítat, je: Jaká je inverzní funkce k 'h'? Čili... Čemu je rovna h na -1 (x)? A opět, pozastavte video a zkuste na to přijít sami. V minulém videu jsme pochopili, že to, co dělá inverzní funkce, je... Funkce je zobrazením z definičního oboru do oboru hodnot. A inverzní funkci můžeme chápat jako zpětné zobrazení: z oboru hodnot k místu, odkud jste začali. Jedním způsobem, jak to pojmout, je najít výraz, který vyruší vše, co toto dělá. Takže, když řekneme, že 'y' je rovno h(x), tak 'y' je rovno minus třetí odmocnině z (3x minus 6) plus 12. Toto nám definuje naše 'y'. A můžete chápat 'y' jako člen oboru hodnot. Člen oboru hodnot ve smyslu toho, co je naše vstupní hodnota. Ve smyslu toho, co je člen definičního oboru. Můžeme na to jít opačně a pokusit se vyřešit 'x'. Pokud vyřešíme 'x', získáme tím nějaký výraz, který je funkcí 'y', a bude to rovno 'x'. Takže to bude převrácené zobrazení. Další možností, jak to řešit, je, že můžete prostě prohodit 'x' a 'y' a pak vyřešit 'y'. Ale je pak méně zřejmé, že se jedná o inverzi funkce. Takže pojďme vyřešit 'x'. První věc, kterou bychom měli udělat, je osamostatnit tuto odmocninu, třeba na pravé straně. Takže odečteme 12 z obou stran. A dostaneme y minus 12 se rovná třetí odmocnině... (Je to ve skutečnosti záporná odmocnina, nesmíme na to zapomenout.) Takže se to rovná minus třetí odmocnina z (3x minus 6). Odečetli jsme 12 od obou stran, takže těchto 12 je teď pryč. A teď můžeme vynásobit obě strany -1, takže se zbavíme tohoto záporného znaménka. Takže vynásobíme obě strany -1. Na levé straně teď budeme mít 12 minus y. A na pravé straně získáme třetí odmocninu z (3x minus 6). A teď to začíná být algebraicky ošemetný problém. Umocníme obě strany na třetí. Takže do toho. Umocníme obě strany na třetí. A ve skutečnosti to není taková hrůza, protože to vlastně nemusím vypočítat, nemusím to rozšiřovat, můžu to nechat jako (12 minus y) na třetí. Pokud umocníme obě strany na třetí, na levé straně nám zůstane (12 minus y) na třetí. A na pravé straně, když umocníte na třetí třetí odmocninu, zůstane vám prostě to, co bylo původně pod odmocninou, abych tak řekl. A teď vyřešíme 'x', pojďme tedy přičíst 6 k oběma stranám. Takže dostaneme (12 minus y) na třetí plus 6 je rovno 3x. Teď vydělíme obě strany 3 a jsme hotovi. Vydělíme obě strany 3 a dostaneme... Dostaneme 'x'... se rovná (12 minus y) na třetí plus 6, to celé lomeno 3. Takže takto, pokud máte člen... (jak o tom lze přemýšlet) ... pokud máte člen oboru hodnot 'y', toto ho zobrazí zpět na 'x', které by vás dostalo k tomuto členu oboru hodnot. Toto je inverzní funkce, takže to můžeme zapsat: h na -1 (y) se rovná tomuto, (12 minus y) na třetí plus 6, to celé lomeno 3. A jak jsme říkali v minulých videích, to, že vstup nazýváme 'y', je věc dohody, může to být cokoli jiného, můžeme to nazvat třeba "hvězdičkou". Mohli bychom říct h na -1 (*). A jen tím nazveme náš vstup "hvězdičkou", která je rovna (12 minus *) na třetí plus 6 lomeno 3. Nebo když chceme nazvat náš vstup 'x', můžeme prostě říct inverze k funkci h(x) (a opět - jde jen o to, jak ten vstup nazveme) je rovna (12 minus x) na třetí plus 6 lomeno 3. Může to být trochu matoucí, protože teď, teoreticky, 'x' může být považováno za člena oboru hodnot a my zobrazujeme zpátky na člen definičního oboru. Ale tak či tak, vstup funkce můžeme nazvat v podstatě jakkoli. Ale tady to je, toto je inverzní funkce, která v podstatě otáčí to, co dělá naše původní funkce.
video