Inverzní funkce
Přihlásit se
Inverzní funkce (3/5) · 7:02

Jak najdeme inverzní funkci? 2 Další příklad na určení inverzní funkce. Tentokrát je původní funkce dána podílem dvou mnohočlenů.

Navazuje na Složené funkce.
g(x) je rovno (2x minus 1) lomeno (x plus 3). Pozastavte video a zkuste na tomto základě přijít na to, co bude g na -1. g na -1 (x). Čemu se to pak bude rovnat? Ok, mám za to, že jste to zkusili, a tak trochu jako připomínku toho, o čem mluvíme, když se bavíme o inverzi funkce: Pokud je toto definiční obor, množina všech vstupních hodnot, které můžeme vložit do 'g'... Takže, toto je ten definiční obor... A pokud považujeme obor hodnot za množinu výstupních hodnot... Toto je tedy obor hodnot... Pak daná vstupní hodnota, tzn. člen definičního oboru, 'x', bude zobrazena... (Udělám to touhle barvou.) bude zobrazena pomocí funkce 'g' do tohoto bodu... (Udělám 'g' ve žluté.) Bude zobrazena do členu oboru hodnot. Takže, pokud je toto 'x', tuto hodnotu zde můžeme považovat za g(x). To je to, co funkce 'g' dělá. A teď, inverzní funkce to dělá obráceně. Začnete se členem oboru hodnot a vrátíte se zpět ke členu definičního oboru. To je to, co dělá g na -1. Je několik způsobů, jak o tom přemýšlet. Kdybychom stanovili... Kdybychom řekli, že 'y' je rovno g(x)... Takže tento bod můžeme prostě nazvat i 'y'. Takže tento výraz... Máme-li 'x', tohle je to, co s ním děláme. Vynásobíme ho dvakrát a odečteme jedna, vydělíme (x plus 3), a pak nám to říká, čemu se příslušné g(x), neboli 'y', rovná. A co když máme dáno 'y', neboli g(x)? Jak získáme 'x'? No, musíme prostě vyřešit 'x'. Dejme se do toho. Když řekneme, že 'y' je rovno (2x minus 1) lomeno (x plus 3), vyřešíme 'x'. A tak budeme pro jakékoli 'y' schopni určit odpovídající 'x'. Jak to uděláme? Můžeme vynásobit obě strany výrazem (x plus 3). Dostaneme potom y krát (x plus 3), což se rovná 2x minus 1. Vše, co jsem udělal, bylo vynásobení obou stran výrazem (x plus 3). (x plus 3) tady, a na této straně taky. (x plus 3) se vyruší s tímto (x plus 3). A potom... Podíváme se, co můžeme udělat teď. Můžeme roznásobit závorku 'ypsilonem'. Můžeme ji roznásobit, a budu teď psát jinou barvou, protože by bylo komplikované, kdybych se pořád snažil odlišovat 'ypsilony' jinou barvou. Takže dostaneme y krát x plus 3y je rovno 2x minus 1. A vzpomeňte si, teď se snažíme vyřešit 'x'. Takže můžeme sesbírat všechna 'x' na jednu stranu rovnice, a potom všechny výrazy, které neobsahují 'x', na druhou stranu. Takže, dejme všechna naše 'x' na levou stranu a všechny výrazy bez 'x' napravo. Takže, chci se zbavit tohoto, protože to neobsahuje 'x', takže odečteme '3y' odtud. A teď odečtu '3y' i od této strany. Minus 3y. A chceme se zbavit tohoto na pravé straně, takže minus 2x. A napíšeme to i sem, minus 2x. Takže dostaneme... (Sjedu si trochu dolů. Jejda, promiňte.) Takže yx minus 2x bude (y minus 2) krát x. Toto se vyruší, což byl náš záměr. To se rovná... 2x minus 2x, to zase vyrušíme. A teď máme 1 minus 3y. 1 minus 3y. A abychom vyřešili 'x', musíme jen vydělit obě strany (y minus 2). (y minus 2). A dostaneme x se rovná (1 minus 3y) lomeno (y minus 2). Jednou cestou, jak o tom přemýšlet, je, že si můžeme říct: 'x' je rovno... Tento výraz je roven inverzní funkci, g na -1 (y). Dáte mi 'y', které náleží do tohoto oboru hodnot, a já ho můžu vložit do této definice funkce a dám vám odpovídající 'x'. A teď, nechtěli jsme zjistit g na -1 (y). Chceme zjistit g na -1 (x). Ale důležitou věcí k zapamatování je, že tato proměnná, kterou používáme uvnitř funkcí zde, je vybrána tak trochu nahodile. Prostě si řeknete: Vstupní hodnotě budu říkat 'y'. A pokud nazvete vstup 'y', pak takhle dostaneme výstup. Ale klidně můžeme vstup nazvat 'a'. A pak to bude (1 minus 3a) lomeno (a minus 2). Nebo dokonce můžeme pojmenovat vstup... Rád bych to pořádně objasnil. Takže máme g na -1 (y)... (Vlastně, psal jsem to tady nahoře modře napišme to tedy modře.) Takže pokud budeme mít g na -1 (y) g na -1 (y) (Jen prostě přepisuju, co už máme.) je rovno (1 minus 3y) lomeno (y minus 2). Tato volba proměnné je nahodilá. Mohli bychom říct g na -1 (smajlík) je rovno 1 minus 3 (smajlík) lomeno (smajlík) minus 2. Nebo, pokud chceme nazvat vstup 'x', prostě napíšeme g na -1 (x) je rovno (1 minus 3x) lomeno (x minus 2). A byli bychom hotovi. A chci zdůraznit, že můžete říct, no, to je matoucí, protože teď nazýváme vstup 'x', ačkoli normálně si spojujeme 'y' s proměnnými. To je pravda, ale musíte si pamatovat, že tyto proměnné jsou jen nálepky, které dáváme věcem, abychom o nich neztratili přehled. Ale jsou jen tím, co zde nazýváme vstupem. Takže můžeme nazvat vstup inverzní funkce 'x', 'smajlík', 'y', nebo 'a', 'b', 'c', 'd', jakkoliv chceme. A když to chtějí z hlediska g na -1 (x), definujeme si vstup jako 'x', ať už tam vložíme cokoli jako 'x'. A tak toto bude výraz který se zpátky zobrazí. Jiný způsob, jak lze toto udělat... Pokud se zamyslíte nad tím, co se stalo, když jsme řekli, že 'y' se nyní rovná g na -1, tak jsme v podstatě jen prohodili proměnné 'x' a 'y'. Takže, dalším způsobem řešení je začít tam, kde jsme začali, přímo tady, a potom prohodit všechna 'x' a 'y'. Což je v podstatě to, co jsme udělali v posledním kroku. A potom, po výměně, vyřešíme 'y' a dostaneme tento stejný výsledek. A můžete říct, 'y' je rovno g na -1. Vyzkoušejte oba způsoby.
video