Inverzní funkce
Přihlásit se
Inverzní funkce (4/5) · 6:41

Jsou zadané funkce inverzní? Ukážeme si, jak si pomocí složené funkce můžeme ověřit, že dvě funkce jsou navzájem inverzní.

Navazuje na Složené funkce.
Řekněme, že f(x) je rovno (x plus 7) na třetí minus 1. A g(x) je rovno třetí odmocnině z (x plus 1) třetí odmocnině z (x plus 1) minus 7. A já bych chtěl nyní určit f(g(x)). Chci určit f(g(x)) a potom také g(f(x)) a uvidíme, co dostaneme. A jako vždy vám radím, abyste si pozastavili video a zkusili to sami. Nejdřív tedy pojďme určit f(g(x)). To znamená, že g(x), celý tento výraz, bude náš vstup. Takže kdekoli v definici funkce f(x) uvidíme 'x', nahradíme ho vším, co je g(x). Takže f(g(x)) se bude rovnat... Bude se to rovnat... No, vidím 'x' tady, takže místo něho napíšu celý výraz pro g(x), bude to tedy třetí odmocnina z (x plus 1) minus 7, a pak tu máme plus 7, to celé na třetí, minus 1. Všimněte si, kdekoli jsem uviděl 'x', protože počítám f(g(x)), nahradím 'x' tím, co je g(x). Což je třetí odmocnina z (x plus 1) minus 7. Dobře, podívejme se, jestli to můžeme zjednodušit. Máme tu minus 7 plus 7, takže se nám to zjednoduší pěkně. Takže se z toho stane... (Můžu to teď napsat neutrální barvou.) Je to rovné třetí odmocnině z (x plus 1) na třetí, minus 1. A když mám třetí odmocninu z (x plus 1) a umocním ji na třetí, tak zkrátka dostanu x plus 1. Takže tato část se zjednoduší na x plus 1, a pak odečtu 1, a to vše se tedy zjednodušilo na 'x'. Takže nám zůstalo jen 'x'. f(g(x)) je tedy 'x'. A nyní se podívejme, co je g(f(x)). Takže, g(f(x)) se bude rovnat... Napíšu to přímo sem... Bude se to rovnat třetí odmocnině z... Vlastně, vypíšu to nejdřív, kdekoli uvidím 'x', napíšu místo něho f(x). Minule jsem to nedělal, 'x' jsem nahradil přímo definicí f(x). Ale aby bylo zřejmé, co dělám, tak kdekoli uvidím 'x', nahradím ho f(x). Takže, třetí odmocnina z (f(x) plus 1) minus 7. To se bude rovnat třetí odmocnině z f(x), což je celý tento výraz tady, takže (x plus 7) na třetí minus 1, a pak ještě přičteme 1. A pak od toho celého odečteme 7. Naštěstí pro nás, odečítáme a přičítáme 1, takže se to vyruší. A zůstane nám třetí odmocnina z (x plus 7) na třetí. Třetí odmocnina z (x plus 7) na třetí je prostě x plus 7. Takže to bude x plus 7, celý tento výraz se zjednoduší na x plus 7, a pak odečteme 7. Tyto dvě se vyruší, a zůstane nám jen 'x'. A vidíme něco velmi zajímavého. f(g(x)) je 'x' a g(f(x)) je také 'x'. Takže v tomto případě, když začneme s 'x', vložíme ho do funkce 'g' a dostaneme g(x) a potom to vložíme do funkce 'f', f(g(x)) nás dostane zpátky k 'x'. Zpátky k 'x'. Takže jsme udělali takovou "okružní cestu". A to samé se děje tady. Když vložím 'x' do f(x)... Pardon, když vložím 'x' do funkce 'f' a dostanu f(x) (výstup je f(x)), a potom to vložím do funkce 'g', opět udělám "okružní cestu" a dostanu se zpátky k 'x'. Je i jiný způsob, jak o tom uvažovat. Toto jsou obě složené funkce. A jedním ze způsobů, jak o tom uvažovat, je... Pokud toto je množina všech možných vstupů do některé z těchto složených funkcí a toto jsou pak výstupy, začnete tedy s 'x'... (Udělám tento příklad jako první.) Takže 'g' je zobrazení... (Zapíšu to.) 'g' je zobrazení z 'x' do g(x). To je to, co 'g' dělá. Takže funkce 'g' zobrazuje z 'x' do určité hodnoty, g(x), a pak, pokud byste aplikovali funkci 'f' na tuto hodnotu, g(x), dostanete se zase zpátky k 'x'. Takže, to je f(g(x)). A naopak. Když začnete s 'x' a aplikujete f(x) jako první, tak, když začnete s 'f', když aplikujete f(x) jako první... (Udělám to.) Když aplikujete f(x) jako první, vidíte, že se dostanete k této hodnotě, což je f(x). Takže jste aplikovali funkci 'f', a když na ni aplikujete funkci 'g', dostanete se zase zpátky. Takže toto je g(f(x)). (Nebo g(f).) Aplikujeme funkci 'g' na hodnotu f(x). A protože se dostaneme k "okružní cestě" v obou směrech, víme, že funkce 'g' a 'f' jsou vůči sobě inverzní. Vlastně si to můžeme takto zapsat: f(x) se rovná g na -1 (x), a obráceně, g(x) se rovná f na -1 (x). Doufám, že vás to bavilo.
video