Analytická geometrie
Přihlásit se
Analytická geometrie (8/9) · 9:13

Rovnoběžné a kolmé přímky Speciální vzájemné polohy dvou přímek jsou rovnoběžné a kolmé. Pojďme si ukázat, jak z výpočtu směrnic můžeme rozpoznat, o jaký případ se jedná.

Navazuje na Čtyřúhelníky.
V tomto videu si uděláme pár příkladů ohledně rovnoběžných a kolmých přímek. Takže máme rovnoběžné přímky, kolmé přímky a samozřejmě máme i přímky, které nejsou ani rovnoběžné ani kolmé. Jen k zopakování, pokud jste se s tím ještě nesetkali, rovnoběžné přímky se nikdy neprotnou. Tak, nakreslíme si osy. Takže toto jsou souřadnicové osy, to je osa x a tohle osa y. Tak tady máme fialovou přímku, a přímka s ní rovnoběžná vypadá zhruba takto. Není to přesně ta stejná přímka, ale obě mají úplně stejný sklon. Pokud se tady posuneme o určitou vzdálenost, pokud se změna na ose y lomeno změna na ose x rovná určitému číslu, tato změna na ose y lomeno změna na ose x je stejné číslo. Proto se tyto přímky nikdy neprotnou. Takže mají stejný sklon. Rovnoběžné přímky mají stejný sklon. Kolmé přímky, podle úhlu pohledu, to mají tak trochu naopak. Řekněme, že tu máme nějakou přímku. Přímka k ní kolmá by tuhle přímku nejen protla, ale navíc by spolu svíraly pravý úhel, 90 stupňů. A nebudu to tu už dokazovat. Důkaz můžete najít v playlistu s lineární algebrou. Ale sklon kolmé přímky… Tak vezměme si tady tuhle, řekněme, že tato žlutá přímka má sklon 'm'. Potom tato oranžová přímka, která je kolmá na žlutou přímku, bude mít sklon –1 lomeno m. Jejich sklony budou vzájemně inverzní (převrácené) s opačným znaménkem. Teď, na základě tohoto se můžeme podívat na několik přímek a posoudit, jsou-li vodorovné, jsou-li kolmé a nebo nejsou ani jedno. K tomuto posouzení nám bude stačit se podívat na jejich sklony. Takže, jedna přímka prochází body (4, –3) a (–8,0). Druhá prochází body (–1,–1) a (–2, 6). Pojďme tedy zjistit sklony těchto přímek. Tak začnu s tou růžovou. Takže tady ten sklon, přímka 1, nazvu si to sklon 1 (n1). Sklon 1, řekněme, je … Budu to brát jako koncový bod. Takže –3 minus 0 … Pamatujte, bereme změnu na ose y … –3 minus 0 lomeno 4 minus –8. Což se rovná –3 lomeno… to je to stejné jako 4 plus 8 … –3 nad 12, což se rovná –1/4. Vydělte čitatel a jmenovatel trojkou. To je tato přímka. To je ta první přímka. No, a co ta druhá přímka? Sklon té druhé přímky je, vezměme si tady, –1 minus 6, lomeno –1 minus –2 se rovná –1 minus 6 je –7, lomeno –1 minus –2. To se rovná –1 plus 2. No, a to je 1. Takže tady nám ten sklon vyšel –7. Takže v tomto případě přímky nemají stejné sklony, nejsou tedy rovnoběžné a nejsou k sobě ani záporně převrácené. Nejsou ani jedno. Nejsou ani rovnoběžné, ani na sebe kolmé. Ani rovnoběžné, ani na sebe kolmé. Takže tyhle dvě přímky mají průsečík, ale nebudou mezi sebou svírat úhel 90 stupňů. Pojďme si zkusit další příklady. Takže tu zase mám přímku procházející těmito body a pak další přímku procházející těmito body. Tak se pojďme podívat na jejich sklony. Takže v případě tady té zelené, jaký je její sklon? Sklon té zelené, nazvu si ji jako 'první přímka'. Mohli bychom říct, no, změna na ose y. Takže je to –2 minus 14 lomeno… vzal jsem nejprve –2, takže teď vezmu 1, lomeno 1 minus –3. –2 minus 14 je –16, 1 minus –3 je to stejné jako 1 plus 3. Takže lomeno 4. Takže to vychází –4. A teď, jaký je sklon tady této druhé přímky? Takže máme sklon té druhé přímky. Vezměme si 5 minus –3, to je změna na ose y, lomeno –2 minus 0. To se tedy rovná 5 minus –3. To je to stejné jako 5 plus 3. To se rovná 8. A pak –2 minus 0 je –2. A tohle je také rovno –4. Přímky jsou tedy rovnoběžné. Tyto dvě přímky jsou rovnoběžné. Mají naprosto stejné sklony. A já vás vyzývám, abyste našli rovnice těchto přímek, zakreslili obě do grafu, a ověřili si tak, že se skutečně jedná o rovnoběžné přímky. Zkusme si tady tento. Opět se jedná o příklad na hledání sklonu přímek. Takže první přímka má tyto body. Pojďme si zjistit její sklon. Sklon té první přímky, jedna přímka prochází těmito body. Tedy 3 minus –3, to je změna na y, lomeno 3 minus –6. To je ta samá věc, jako 3 plus 3, což je 6, lomeno 3 plus 6, což dělá 9. Takže tato první přímka má sklon 2/3. Jaký sklon má pak ta druhá přímka? Toto byla ta druhá přímka, tohle je další přímka, která prochází těmito body. Takže, sklon té další přímky, vlastně si můžeme říct –8 minus 4 lomeno 2 minus –6. Takže čemu se to rovná? –8 minus 4 je –12. 2 minus –6, což je to stejné jako 2 plus 6. Záporné znaménka se vyruší. Takže dostáváme -12 lomeno 8, což je stejné, jako když vydělíme čitatel a jmenovatel 4, pak to bude –3/2. Všimněte si! Všimněte si, že tady tato čísla jsou k sobě záporně převrácená. Vezmu-li si –1 lomeno 2/3, což je rovno –1 krát 3/2, což je rovno –3/2. Tato čísla jsou k sobě navzájem záporně převrácená. Přehodíte čitatel a jmenovatel, změníte znaménko a budou se rovnat. Tedy tyto dvě přímky jsou na sebe kolmé. A zkuste najít rovnice přímek, už jsem Vám zjistil sklony, ale zjistěte rovnice obou přímek, zaneste je do grafu, a sami si ověřte, že se jedná o kolmice. A pojďme zkusit ještě jeden příklad. Najděte rovnici přímky kolmé na tuto přímku a procházející body 2, 8. Takže ta první část zadání, že přímka je kolmá tady k této, co nám to vlastně říká? Pokud je kolmá k této přímce, její sklon musí být záporně převrácený k 2/5. Tudíž její sklon, záporná převrácená hodnota k 2/5, je… použiju na to hezčí zelenou. Pokud sklon této přímky je –2/5, rovnice přímky, kterou máme stanovit, a která je k ní kolmá, její sklon bude převrácenou hodnotou. Takže místo 2/5, budeme mít 5/2. A místo záporného čísla, dostaneme číslo kladné. Takže toto je záporně převrácené číslo k –2/5. Ano? Záporné znaménko bude kladné, přehodíte 5 a 2 a dostanete 5/2. Takže toto bude sklon nové přímky. A my teď vlastně můžeme využít bodově směrnicový tvar. Prochází tady tímto bodem. Takže použijme bodově směrnicový tvar. y minus tato hodnota na y, což musí ležet na přímce, se rovná sklonu, 5/2 krát x minus tato hodnota na x, hodnota x, když se y rovná 8. A toto je rovnice přímky v bodově směrnicovém tvaru. Pokud chcete dostat směrnicový tvar rovnice, můžete použít trochu algebry, algebraické operace, y minus 8 se rovná … roznásobíme si těch 5/2… 5/2x minus (5/2 krát 2 ) je 5. Pak přičteme k oběma stranám 8. Dostaneme y se rovná 5/2x. Přičteme 8 k –5, takže plus 3. A máme hotovo.
video