Mocniny a odmocniny
Přihlásit se
Mocniny a odmocniny (20/20) · 14:04

Příklady s nulou, zlomkem a záporným číslem v exponentu Těžší příklady na mocniny - mocnitel nula, zlomek nebo záporný mocnitel.

Již jsem vám řekl, že cokoli na nultou se rovná 1. x na nultou je 1. A ukázal jsem vám jeden důvod, proč tomu tak je. Použil jsem příklad, že 3 na 1 se rovná 3. 3 na druhou se rovná 9. 3 na třetí je 27. Pokaždé, když zmenšíme exponent o 1, dělíme 3. 27 děleno 3 je 9. 9 děleno 3 je 3. 3 děleno 3 je 1. A to by mělo být 3 na 0. Tohle je jeden způsob, jak o tom přemýšlet. Dalším důvodem je, že musí platit vlastnosti exponentů. Už víte, že (a na b) krát (a na c) se rovná a na (b plus c). Co by se stalo, kdyby c bylo 0? Co se stane, když máme (a na b) krát (a na 0)? Podle tohoto pravidla se tento výraz musí rovnat a na (b plus 0), což je stejné jako a na b. Takže (a na b) krát (a na 0) musí být rovno a na b. Pokud vydělíte obě strany... Ještě jednou to přepíši. (a na b) krát (a na 0) se podle tohoto pravidla rovná (a na b). b plus 0 se rovná b. Když vydělíme obě strany a na b, co dostaneme? Na levé straně zůstane jen (a na 0), že? Tyto výrazy se vykrátí. (a na 0) je rovno 1. Pravidlo, že cokoli na nultou se rovná 1, se dá ukázat pomocí téměř všech vlastností exponentů. A také dává smysl, že dělení 3 neustále snižuje exponent. Pořád to funguje. Třeba 3 na −1, jak jsme viděli v posledním videu, je rovno 1 děleno (3 na 1), což je 1/3. Od 3 na 0 opět dělíme 3 a dostaneme 1/3. Skutečně dává smysl, že 3 na 0 je 1. Ale nechává nám to trochu mezeru. Co takhle 0 na 0? To je velmi zvláštní. 0 násobena sama sebou nulakrát. Hodně to záleží na souvislostech. Někdo by řekl, že je to nedefinované. Mnohem častěji, alespoň z mých zkušeností, je to ale definováno jako 1. Ačkoli to vůbec nevypadá přirozeně, i Google definuje 0 na 0 jako 1. Přestože to není intuitivní, je to důležitý předpoklad, aby mohlo fungovat mnoho vzorců. Zejména je to důležité pro binomickou větu, kterou se ale nyní nebudu zabývat. Můžete zkusit sami zapřemýšlet, co to vlastně může znamenat. Pojďme si ukázat nějaké další vlastnosti exponentů a pak si je procvičíme na několika příkladech. Už jsem vám minule řekl, co znamená umocnit číslo záporným číslem. a na minus první, nebo raději a na minus b se rovná 1 děleno (a na b) Ukáži vám to na konkrétním příkladech. (3 na minus 3) se rovná 1 děleno (3 na 3). To se rovná 1 děleno 3 krát 3 krát 3, což je 1/27. Kolik je 1/3 na minus 2? To se rovná 1 děleno 1/3 na 2. Dáte pryč minus a převrátíte základ. Toto se rovná 1 děleno... kolik je 1/3 krát 1/3? 1/9. 1 děleno 1/9 je stejné jako 1 krát 9, což se rovná 9. Toto dává smysl, protože nezapomeťe, že 1/3 je 3 na minus 1. 3 na minus 1 se rovná 1 děleno 3 na 1, což je také 1/3. Pokud napíšeme 1/3 jako 3 na minus 1, pak tento výraz můžeme přepsat jako 3 na minus 1, to celé na minus 2. Tyto dva výrazy jsou ekvivalentní. Podle pravidla, které jsme se učili v prvním videu, můžeme tyto exponenty mezi sebou vynásobit. To se rovná 3 na minus 1 krát minus 2, což je 2, takže celé se to rovná 9. Je velice elegatní, jak všechny vlastností společně fungují, aniž by si vzájemně odporovaly. Ať použijete jakékoli pravidlo, dostanete na konci správný výsledek, pokud neuděláte něco šíleného. Poslední věc, kterou bych chtěl ukázat je exponent ve tvaru zlomku. Takže máme-li třeba a na 1/b, pak zavedu tuto definici. Toto se rovná b-té odmocnině z a. Ukáži vám to na konkrétních číslech. Např. 4 na 1/2 je ekvivalentní s druhou odmocninou z 4. Toto se rovná 2. Nebo 8 na 1/3 znamená třetí odmocnina z 8. Toto je je asi nejtěžší tvar exponentu k pochopení. Říkám si, které číslo vynásobené samo sebou 3krát dá 8? Pokud 8 na 1/3 se rovná x, potom x na 3 se musí rovnat 8. Je to to samé. Jak vím, že toto tvrzení je pravdivé? Zkusme obě strany rovnice umocnit na 3. Co dostaneme, pokud umocníme levou i pravou stranu na 3. Na levé straně dostanu x na třetí. Na pravé straně dostanu 8 na (1/3 krát 3), což je 3/3, tedy 1. Takže pokud x na 1/3 se rovná 8, čemu se rovná x? No, 2 krát 2 krát 2 je 8. Nelze to vždy spočítat jednoduše, zvlášť když se dostaneme ke čtvrtým či pátým odmocninám. Většinou budete potřebovat kalkulačku, abyste něco takového spočítali. Ale třeba 8 na 1/3, 16 na 1/4 nebo 27 na 1/3 by němelo být těžké spočítat. Takže toto se rovná 2. Trochu to ztížím. Kolik je 27 na minus 1/3? Nebojte se. Uděláme to hezky popořádku. Protože máme záporný exponent, je to stejné jako 1 děleno (27 na 1/3). Tyto dva výrazy jsou ekvivalentní. Zbavíte se znaménka minus a uděláte 1 děleno. Kolik je 27 na 1/3? Které číslo 3 krát vynásobené samou sebou dává 27? Přece 3. Takže celé se to rovná 1/3. To není tak špatné. Teď to posunu ještě o úroveň výš, aby to bylo ještě strašidelnější. Kolik je... Udělám něco zajímavého. Kolik je 8 na 2/3? Tohle už vypadá strašidelně. Ale stačí si pamatovat, že je to to samé jako... Přepsáno s pomocí pravidel pro exponenty. ...jako (8 na 2) to celé na 1/3. Jak tohle vím? Když spolu vynásobíte tyto dva exponenty, tak dostanete 2/3. Takže 8 na 2/3 je stejné jako 8 na 2 a z toho třetí odmocnina. Šlo by to i opačně. Také se to rovná (8 na 1/3) na 2. Ať tak či onak vynásobením těchto exponentů dostanu 8 na 2/3. Pojďme si ověřit, že opravdu dostaneme stejný výsledek. 8 na 2 je 64. Z toho udělám třetí odmocninu. Níže máme 8 na 1/3. Už víme, kolik to je. Je to 2, protože 2 na 3 je 8. Takže to se rovná 2 na 2. Kolik je 64 na 1/3? Jaké číslo vynásobené samo sebou třikrát dá 64? No, 4 krát 4 krát 4 je 64. 4 na 3 je 64. Což znamená, že 4 se rovná 64 na 1/3. To se tedy rovná 4. A naštěstí 2 na 2 se také rovná 4. Můžete použít každý způsob. Můžete nejdřív umocnit na druhou a potom udělat třetí odmocninu nebo udělat třetí odmocninu a pak umocnit na druhou. Dostanete stejnou odpověď. Zatím jsem všechno dělal s konkrétními čísly. Teď zkusíme pár příkladů s proměnnými, kde použijeme vše, co jsme se naučili. Třeba chceme upravit výraz tak, aby tam nebyly žádné záporné exponenty. Například (x na −3) děleno (x na −7). Dá se to upravit několika způsoby. Třeba to můžeme přepsat jako (x na −3) krát 1 lomeno (x na −7). Kolik je 1 děleno (x na −7)? Přece x na 7, ne? Pokud máme 1 děleno něco, stačí před exponent dát znaménko minus. Když dáme minus před −7, dostaneme x na 7. Tento výraz se dá zjednodušit na (x na −3) krát (x na 7). Můžeme sečíst exponenty a výsledek je tedy x na 4. Také jsme mohli tento výraz zjednodušit odečtením exponentů. Máme přece stejný základ. Takže to bude x na (−3 minus −7). −3 minus −7 se rovná −3 plus 7, takže výsledek je x na 4. A poslední způsob... Vlastně existují i další způsoby, jak to zjednodušit. x na −3 děleno x na −7... Pardon, ne −x. ...lomeno x na −7. To se rovná 1 lomeno (x na 3) krát 1 lomeno (x na −7). To se rovná 1 lomeno (x na 3) krát (x na −7). Můžeme sečíst exponenty, takže dostaneme 1 lomeno (x na −4). Abychom se zbavili zlomku, stačí dát před exponent minus. Dostaneme tedy x na 4. Ať jsme použili jakýkoli způsob, tak při dodržování pravidel, byl výsledek x na 4. Uděláme poslední trochu těžší příklad. A pak už budeme hotoví. Mějme 3 krát x na 2 krát y na 3/2 děleno (x krát y na 1/2). To se rovná 3 krát (x na 2 děleno x) krát (y na 3/2 děleno y na 1/2). To se rovná 3 krát-- kolik je x na 2 děleno x? Nebo x na 2 děleno x na 1? Přece x na (2 minus 1). A ještě krát y na (3/2 minus 1/2)? Co tedy dostaneme? 3 krát x na (2 minus 1) je jedna, takže můžu napsat x krát y na (3/2 minus 1/2) což je 2/2. Takže y na 2/2. y na 2/2 je stejné jako y. Výsledek je tedy 3 krát x krát y. Sami si zkuste hodně podobných příkladů. Uvidíte, že pomocí pravidel, které jsme si ukázali v posledních videích, můžete zjednodušit téměř každý výraz s exponenty.
video