Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (8/19) · 3:31

Určení určitého integrálu z grafu Máme zadaný určitý integrál. Naším úkolem zde je nakreslit graf integrované funkce a pomocí plochy pod grafem tento určitý integrál vypočítat.

Navazuje na Derivace funkce II.
V tomto videu bych se rád podíval, zda umíme vyčíslit hodnotu určitého integrálu od -3 do 3 druhé odmocniny 9 minus x² dx. Zastavte si toto video a zkuste si to vyřešit sami. Dám vám radu, bude vám k tomu stačit pouze graf této funkce. Dobrá, předpokládám, že jste si to zkusili. Pojďme se zamyslet nad tím, že jsem vám řekl, že si vystačíte pouze s grafem této funkce. Tak si ten graf načrtněme. Tady uděláme osu y. To je moje osa y. A to je moje osa x. Možná si říkáte: "Jak vypadá graf téhle funkce?" Nemusí vás to hned napadnout. Je to už asi dávno, co jste probírali kuželosečky, možná v hodinách algebry. Tak si to připomeňme. Tato funkce, řekněme y, se rovná nějaké funkci x, která je rovna druhé odmocnině z 9 minus x². Pak můžeme říct, že y na druhou se musí rovnat tomuto výrazu na druhou, což je 9 minus x². Pak můžeme říct, že y² plus x² se rovná 9, což je výraz ve tvaru rovnice kružnice se středem v počátku s poloměrem 3, druhou odmocninou z 9. Takže poloměr je roven 3, střed v počátku. Tak dál. Graf tohoto nebude kruh. Toto je funkce. Kdyby to byl kruh, tak už by to nebyla funkce, kdybychom tady přidali +- druhá odmocnina. Když jsme vzali druhé mocniny obou stran, dostali jsme tady to dole. Ale tady nahoře mluvíme pouze o základní, nezáporné odmocnině. Když mluvíme o nezáporné mocnině, mluvíme o horní části. Toto je horní část kruhu se středem v počátku a poloměrem 3. Takže toto je horní část kruhu, protože jde o nezápornou odmocninu, tak si to nakresleme. Bude mít poloměr 3, střed v počátku. Tady bude minus 3, tady bude 3. A tady bude 3. Takže ta funkce bude vypadat takto. Bude vypadat takto. Ve skutečnosti je definovaná pouze mezi -3 a 3. Když by absolutní hodnota x byla větší než 3, dostali bychom tady zápornou hodnotu. A pak bychom nemohli určit odmocninu, protože ta je definována jen na kladných, nebo spíše nezáporných hodnotách. Takže toto je ten graf. Takže jaká je hodnota určitého integrálu od -3 do 3? To je přece obsah plochy pod křivkou a nad osou x, je to to, co teď šrafuji zeleně. A co to vlastně je? Na to integrály nepotřebujeme. Vystačíme si s tradiční geometrií. Obsah celého kruhu, pokud by to byl celý kruh, je πr². Takže by to bylo π krát 3², což je rovno 9π. My tady ale máme pouze polovinu celého kruhu. Takže to vydělíme 2. Obsah je tedy 9π lomeno 2. Takže tento výraz je roven 9π lomeno 2.
video