PV-diagramy a objemová práce Proč je objemová práce rovna ploše pod grafem v pV-diagramu?

V posledním videu jsme viděli, že systém může vykonávat práci expanzí. A v situaci, kterou jsme nakreslili, jsme měli případ, kde strop byl pohyblivý. Měli jsme píst a jako v našem videu o rovnovážném (kvazistatickém) ději. jsme měli několik kamínků. Odebrali jsme kamínek, takže tlak v našem systému, za předpokladu, že tyto kamínky byly tak malé, že tlak zůstal stejný, tlak tlačil nahoře na píst nějakou silou. Zjistili jsme, že tato síla, jelikož tlak je síla působící na plochu, prostě jsme vynásobili tlak plochou našeho pístu a získali jsme sílu, kterou působíme. Působíme touto silou a vynásobíme ji vzdáleností, o kterou posuneme píst nahoru a zjistíme práci, která byla vykonána rozpínáním neboli objemovou práci. To jsme mohli prostě přepsat. Když jsme násobili tlak krát plocha krát vzdálenost mohli jsme místo toho násobit tlak krát plocha krát vzdálenost A plocha krát vzdálenost je změna objemu. A tak jsme přišli na hezkou rovnici, že práci vykonanou systémem lze zapsat jako tlak krát změna objemu. Takže v tomto případě jsem napsal vzorec pro vnitřní energii, což je práce vykonaná systémem, takže jsem sem dal minus, jelikož když vykonáváte práci, tak odevzdáváte energii někomu jinému. Takže v tomto případě jsme napsali minus. Místo toho, abychom psali práce, můžeme napsat záporný tlak x změna objemu A pamatujte, že toto je rovnovážný děj a děláme to s velmi malými přírůstky. Předpokládáme, že tato změna objemu je velmi malá a že tlak je přibližně konstantní během tohoto děje. Ale to není náš případ, že? Kdybychom toto udělali s velkou změnou objemu, nebo kdyby se vše stalo najednou a toto byly velké kameny, tak by se náš tlak měnil s rozpínáním plynu. Takže je těžké určit, jaký by byl tlak krát změna objemu. Ale když předpokládáme, že se toto děje s velmi, velmi malými přírůstky, tak bychom mohli říct, že tlak byl konstantní po dobu tohoto malého přírůstku a můžeme ho vynásobit změnou objemu. Teď se podívejme, jak to souvisí s tím, co jsme již předtím udělali s pV diagramem. Zatím jediné, kde jsme viděli pV diagram nebo na co jsem ho já použil, byla pomůcka pro vysvětlení rozdílu mezi rovnovážnými ději, nebo pro definování makrostavů. Ale teď ho použiji na něco užitečnějšího. Odtud uvidíme nebo nám začne docházet, proč jej lidi zabývající se termodynamikou tolik zbožňují. Předtím, než jsem cokoliv udělal, když moje nádoba byla zde se všemi kamínky a byli jsme v rovnovážném stavu, mohl jsem popsat všechny makrostavy systému, jeho tlak, jeho objem, jeho teplotu. Mohl jsem také popsat jeho vnitřní energii. Nakreslím to sem. Řekněme, že jsem byl v tomto stavu. Toto byl stav číslo 1. Stav číslo 1 byl přímo tady. A teď řekněme, že začnu odebírat kamínky. Nezapomeňme, že když odeberu všechny kamínky najednou, tak by systém začal proudit. Nejednalo by se o rovnovážný děj nebo o vratný děj což není vždy jedno a to samé.... Nebyli bychom v rovnovážném stavu po celou dobu. Museli bychom čekat, až se systém ustálí. V nějaký okamžik bychom měli nějaký tlak a objem, to zakreslíme sem. To je v případě, že bychom to neprováděli jako rovnovážný děj. Teď, jak jsem ukázal v minulém videu, to provádíme jako, nebo pokoušíme se dostat blízko rovnovážnému ději, jelikož to děláme s malými přírůstky, s malými kamínky. A pokud by pro vás nebyly dost malé, můžete použít menší kamínky. Posouváme se s přírůstky. Například v posledním videu jsme se možná posunuli odtud. Odstranili jsme jeden kamínek a dostali jsme se sem. Odstraníte další kamínek a budete zde. Odstraníte jiný kamínek a jste tady. A výhoda toho, že provádíme tyto rovnovážné děje je, že dostaneme cestu z jednoho stavu do druhého. Řekněme, že odstraníme všechny kamínky až na jeden. toto popisuje naši cestu. Řekněme, že jsme ve stavu 2 a odebrali jsme všechny kamínky až na jeden. Nakreslím to. Takže stav 2 bude vypadat takto. Rychle to načrtnu. Takže toto je naše nádoba Toto je náš píst. Na něm máme pouze jeden kamínek. A samozřejmě tam máme plyn Nakreslím to. Takže toto je stav 2. A stav 1 vypadal zhruba takto. Ve stavu 1 byl píst níže a měli jsme na něm několik kamínků. A měli jsme menší objem, takže plyn narážel do stropu, do zdí a do dna mnohem více. Ještě zakreslím stejný počet molekul. Takže jsme měli větší tlak, tedy tlak byl vysoký a objem malý. Teď stav 2. Takže toto je vysoký tlak, tohle je osa tlaku, tady je objem. Tedy vysoký tlak a malý objem. A dostali jsme se do situace, kde jsme měli pouze jeden kamínek. A děláme to pomalu, tedy jsme celou dobu v rovnováze. Máme tedy cestu. Zde je bod odpovídající odstranění všech kamínků, tedy tlak i objem makrostavu jsou vždy dobře definovány. Avšak ve stavu 2 máme nízký tlak a velký objem. Objem je velký, což vidíte, protože dovolíme pístu posouvat se nahoru pomalu, ve snaze udržet rovnováhu, proto jsou naše makrostavy vždy definovány. A tlak v nádobě je nižší z důvodu, že počet částic je stále stejný, ale narážejí o něco méně do stěn, protože mají o něco více prostoru k pohybu. A tedy je všechno ok. Toto popisuje cestu našeho systému, jak se měnil tento děj, který byl rovnovážným dějem. Vše bylo v každém bodě definováno. Tedy můžeme říct, že práce vykonaná v daném bodě systémem je vyjádřená jeho tlakem krát změnou objemu. Jak to ale souvisí s tímto? Změna objemu je jen určitá změna vzdálenosti podél osy x. Spíše bych ji měl nazvat osou objemu. Toto je změna objemu. Začněme s tímto objemem a řekněme, že odstraněním jednoho kamínku, dostaneme tento objem. Teď vynásobíme změnu objemu tlakem. Pokud jsme toto udělali pro velmi malou změnu a jsme blízko rovnováze, můžeme říct, že je tlak téměř konstantní po celou dobu děje. Můžeme říct, že toto odpovídá tlaku v tomto časovém intervalu. A tedy množství vykonané práce odpovídá násobku tohoto tlaku a tohoto objemu, což je vlastně obsah obdélníka zde. A pro kohokoliv z vás, kdo viděl mé videa o integrálním počtu, by toto mělo vypadat povědomě. Je to tak? A co kdybychom si mohli vzít další kamínek? Pak by náš tlak byl trochu nižší. Tohle je náš nový tlak. Je trochu nižší než ten předchozí. A vynásobíme jej naší novou změnou objemu a dostaneme tento přírůstek práce. Ještě jednou, tenhle prostor je obdélník. A pokud budeme v tomto pokračovat, množství vykonané práce je součet obsahů všech těchto obdélníků po odstranění jednotlivých kamínků. Můžete namítnout, obzvlášť vy, co jste neviděli má videa o integrálech, že sice jsme blízko, ale obsah těchto obdélníků není přesně obsah plochy pod křivkou. Je to trochu nepřesné. A já bych k tomu řekl, že pokud se této chyby obáváte, měli byste použít ještě menší přírůstky objemu. A menší změnu objemu dosáhnete tím, že odstraníte ještě menší kamínky. A teď se vracíme ke snaze dosáhnout rovnovážného děje. Tedy když to uděláte, ideálně, když se delta V bude stále více zmenšovat a obdélníky budou užší a užší. Budete muset udělat více a více kroků. Ale nakonec dojdete ke správnému výsledku, pokud změny delta V jsou dostatečně malé. Ve světě diferenciálního počtu se nekonečně malé změny zapisují jako dV. Tedy pokud si vezmete součet všech tlaků krát jednotlivé dV, získáte obsah plochy pod křivkou. Způsob, kterým byste o tomto měli přemýšlet, je, že jdete z tohoto bodu daného tímto tlakem a objemem do tohoto daného tímto tlakem a objemem. Na otázku: „Kolik práce vykonáme?" Tak jen vypočítáte obsah plochy pod touto křivkou. Pokud byste chtěli poznat tu pravou matematiku, která se za tím skrývá a chtěli byste vyjádřit tlak jako funkci objemu... ...ale neviděli jste video o integrálním počtu, můžete přeskočit tuto malou odbočku, kterou teď udělám. Tady je tato křivka. Pokud byste to mohli zapsat tímto způsobem, zapište tlak jako funkcí objemu. V rámci algebry se lidé učí, že křivka je vyjádřená pomocí ,y' jako funkce ,x'. Analogicky, ‚y' je tlak a ‚x' je objem, takže tlak je funcí objemu. Obsah plochy pod křivkou je integrál tlaku jako funkce objemu, což je výška v kterémkoli bodě, krát velmi malá změna objemu. Takže násobíme naši velmi malou změnou objemu. Bereme sumu od startovního objemu, tedy toho počátečního až k objemu konečnému. A toto budeme dělat v budoucnosti. Především, když se dotkneme entropie. Ale toto je příjemný výsledek. I když neznáte integrální počet nebo vás mate nebo jste nikdy neviděli integrál, nedělejte si s tím hlavu. Ale intuitivně můžete vidět, že vykonaná práce odpovídá ploše pod křivkou. Teď bych se vás zeptal ještě na jednu věc. Řekněme, že nějaká práce byla dodána do systému. Takže začneme přidávat kuličky zpátky. Tedy řekněme, že jdeme z tohoto směru. Řekněme, že začínáme ze stavu 2 a jdeme tímto směrem. Tedy záleží na směru. Řekněme, že jdeme právě tímto směrem. Tedy měl bych tu napsat šipky. A tenhle obrázek už používám po několikáté. Tedy raději udělám nový, to bude pravděpodobně mnohem lepší. Tedy tlak, objem... Vlastně udělám hned dva. Nakreslím tlak, objem. Udělám tu dva grafy. Dobře. Takže na prvním je tlak, objem, tlak, objem. Začneme tady na 1, a půjdem sem na 2. Takže náš systém v podstatě tlačil na píst. A může to být křivka nebo čára, nebudu v tuto chvíli zabíhat moc do hloubky, ale budeme se ubírat tímto směrem. A tak můžeme říct, že vykonaná práce je tlak krát přírůstek objemu v jakémkoliv čase. A vykonaná práce je také plocha pod křivkou. Vykonaná práce je plocha pod křivkou. A nyní, když začneme v bodě 2 a půjdeme na bod 1. Z 2 do 1. A co se teď děje? Teď stlačujeme. Takže pokud jdeme tímto směrem, můžete říct, fajn, možná je práce vykonaná systémem pořád plocha pod křivkou. Tedy, budete blízko. Co se právě děje? Stlačujeme systém neboli vracíme kuličky zpět. Dodáváme do systému energii. Takže pokud to uděláme, pamatujete si, systémem vykonaná práce byla tlak krát přírůstek objemu. Teď to naopak bude tlak krát snížení objemu. Takže pokud jdete zpátky v tomto směru, plocha není práce vykonaná systémem, ale je to práce dodaná systému. A možná bude lepší, když to nakreslím jinou barvou, zelená jako práce dodaná do systému. Teď vám povím ještě jednu zajímavou myšlenku. V podstatě se jedná o klíčovou věc. Je dobré se spolehnout na svou intuici. Nakreslím tady znovu velmi jednoduchý pV diagram. Řekněme, že začneme v tomto bodě. Stav 1. A udělám teď něco... provádím rovnovážný děj, ten udělá něco zvláštního a pak se dostanu do stavu 2, který je tady. A jde to tímto směrem. Tedy můj objem se zvyšuje. Takže v této situaci, jaká je práce vykonaná systémem? Pro nás to je už jednoduché, je to plocha pod křivkou. Nyní řekněme, že budu pokračovat v nějakém typu rovnovážného děje, ale vezmu to jinou cestou. Dělám něco jiného než jen přidávání kuliček přímo zpět. Takže moje nová cesta vypadá asi takto a dostanu se do stavu 1. Takže tyto šipky ukazují nazpátek. Tedy, jaká je práce dodaná do systému? Můj objem se zmenšuje, je to proto plocha pod druhou křivkou. Plocha pod druhou křivkou je práce dodaná do systému. Pokud chci vědět jakou celkovou práci systém vykonal při přechodu ze stavu 1 do stavu 2 a potom při vrácení zpět do stavu 1 ...pamatujete, tohle je diagram tlaku a objemu...jaká tedy je? Práce, kterou systém vykonal je celá tato plocha pod hnědou křivkou. A pak jsme dodali určitou práci, kterou znázorňuje plocha pod touto červenou křivkou. Takže celková práce je v podstatě celý prostor bílé minus tato červená. Takže celkově vykonaná práce, by měla být vyjádřena pouze plochou uvnitř této smyčky. Naštěstí ani nepotřebujete znát integrální počet, přestože se normálně používá k podobným výpočtům. Chtěl jsem vám jen ukázat, že velikost plochy uvnitř této uzavřené smyčky, je vlastně rovna práci, kterou náš systém vykonal. A důležité je, jakým směrem se toto děje. Takže nejdříve se objem zvětšil, poté zmenšil, takže je to analogie pohybu hodinek. Toto je práce, který byla naším systémem vykonána, což je podle mě celkem zajímavá věc. Později můžeme tohoto využít k vysvětlení dalších věcí týkajících se stavových veličin. Udělám ještě jednu malou odbočku. Vzpomeňte, pozměnili jsme stavové veličiny tlak a objem a poté se vrátili do původního stavu. A zůstaly stejné. A ještě bych dodal. Pro naše účely, když se zabýváme ideálními plyny, kde vnitřní energie je vlastně kinetickou energií systému, a když s tímto systémem provedeme šílené věci a vrátíme se zpět, vnitřní energie se nezmění. Tedy vnitřní energie bude v tomto bodě pořád stejná. Zeptám se: „Po průběhu všech těchto věcí a návratu zpět, jaká bude změna vnitřní energie?" Změna je rovna nule. Pokud bych šel například odsud sem, měl bych získat jinou vnitřní energii a změna by měla být nenulová. Ale protože je to stavová veličina, nezáleží, jak jsem se tam dostal. Pokud udělám všechny tyhle smyčky a vrátím se zpět sem, pokud jsem v tomto bodě na pV diagramu, moje vnitřní energie je pořád stejná. Takže pokud začnu v tomto bodě a skončím zase v tomto bodě, moje vnitřní energie se nezmění. O tomto si řekneme víc v příštím videu. Nyní vás nechám přemýšlet o plochách pod křivkami v pV diagramu.