Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (14/17) · 8:52

Metoda parciálních zlomků Třetí metodou pro výpočet složitějších integrálů je metoda parciálních zlomků. Na tomto základní příkladě si ukážeme podstatu a postup.

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
Zkuste vypočítat následující integrál. Nejspíš jste to už zkusili, takže teď se na to podíváme společně. A pokud vám někde napovím, klidně zase zastavte video a pokračujte sami. První, co vás asi napadne, je, že tu máme racionální výraz. Stupeň v čitateli je stejný jako stupeň ve jmenovateli, takže to asi bude chtít nějaké dělení. Tak se do toho dejme. Vezmeme (x na druhou) minus 1 a vydělíme tím ((x na druhou)… Udělám to jinou barvou. Vydělíme tím ((x na druhou) plus x minus 5). Takže ((x na druhou) plus x minus 5). Podívejme se na členy nejvyššího stupně. Kolikrát se (x na druhou) vejde do (x na druhou)? Vejde se to tam jednou, udělám to jinou barvou. Jednou. 1 krát ((x na druhou) minus 1) bude prostě (x na druhou) minus 1. A teď odečtete tenhle zelený výraz od toho světle fialového nebo můžu říct, že přičítám jeho záporný násobek. Takže to bude (-x na druhou) plus 1 a teď se podíváme na ta (x na druhou). x na druhou minus x na druhou je 0, takže tyhle se zruší a zůstane nám x a -5 plus 1, což je -4. Takže máme zbytek x minus 4. Takže můžeme přepsat ten výraz, jehož primitivní funkci chceme najít. Můžeme to přepsat jako 1 plus ((x minus 4) děleno ((x na druhou) minus 1)). Asi to udělám fialově, když už jsem to tak dělal předtím. …děleno ((x na druhou) minus 1). Takže teď jsme udělali tohle, teď máme v čitateli nižší stupeň než ve jmenovateli. A k tomuhle je samozřejmě lehké najít primitivní funkci, ale co uděláme teď? Není to jasné. Když se podíváme na (x na druhou) minus 1, tak derivace bude 2x, což má stejný stupeň jako tohle, ale není to x minus 4, takže to nevypadá, že by nám pomohla substituce. Takže co budeme dělat? Teď můžeme vzít další algebraický nástroj, uděláme rozklad na parciální zlomky. Je to vlastně přepsání tohoto jako součet dvou racionálních výrazů s menším stupněm ve jmenovateli. Co tím přesně myslím? Tuhle věc, (x minus 4) děleno ((x na druhou) minus 1), můžeme přepsat jako (x minus 4) děleno… (x na druhou) minus 1 můžeme rozložit. To je (x plus 1) krát (x minus 1). Takže to napišme, je to (x plus 1) krát (x minus 1). Máme-li rozklad na parciální zlomky, řekneme si: "Fajn, můžeme to přepsat jako součet něčeho, řekněme ,A', děleno (x plus 1) plus něco jiného, řekněme ,B', děleno (x minus 1)?" Můžeme to udělat? Takže když se o to pokoušíme, když sečteme tyhle dvě věci, co dostaneme? Najdeme společného jmenovatele, což je (x plus 1) krát (x minus 1), takže máme… Jestli vám to nepřijde vůbec povědomé, podívejte se znovu na videa o rozkladu na parciální zlomky, protože přesně to tady děláme. Takže to bude rovno… Když tohle sčítáme, společným jmenovatelem bude součin. Takže to bude (x plus 1) krát (x minus 1). Takže první člen… Čitatele a jmenovatele násobím (x minus 1). Takže to bude ,A' krát (x minus 1) plus B… u druhého členu násobím čitatele a jmenovatele (x plus 1). Takže co dostaneme? Tohle bude rovno Ax… Asi to udělám vše jednou barvou. Tohle bude rovno Ax minus A plus Bx plus B a to všechno dělíme tímhle, co tu píšeme celou dobu. Já to jen zkopíruju a vložím. Takže kopírovat a vložit, můžu to používat pořád dokola. Takže máme tohle děleno tímhle. Takže se podívejme, teď dáme dohromady členy s ,x'. Tohle přepíšeme jako… Když vezmeme Ax plus Bx, tak to bude (A plus B) krát x. Pak máme -A a B. Takže plus ,B' minus ,A' a dám tam závorky, aby to bylo hezky pohromadě. A to všechno bude děleno… Ještě že jsem si to zkopíroval. (x plus 1) krát (x minus 1). Tohle je podstata rozkladu na parciální zlomky. Dobře, prošli jsme si tímhle celým, abychom našli nějaká ,A' a ,B', pro která to platí. Takže jestli to platí pro nějaká ,A' a ,B', pak (A plus B) musí být koeficient u členu s ,x'. Takže (A plus B) musí být rovno 1, musí to být rovno tomuto koeficientu. No a (B minus A) musí být rovno konstantě, tedy -4. Takže jestli to tak je, tak najdeme ta ,A' a ,B', tak to pojďme udělat. Udělám to tady, protože tu mám místo. ,A' plus ,B' bude rovno 1 a ,B' minus ,A', můžu taky napsat -A plus B, bude rovno -4. Můžeme sečíst levé strany a pravé strany a pak ta ,A' zmizí. Dostaneme, že 2B je rovno -3 neboli B je rovno -3/2. Víme, že ,A' je rovno 1 minus B, což je 1 plus 3/2, protože B je -3/2, a to je rovno 5/2. ,A' je rovno 5/2. ,B' je rovno -3/2. A takhle můžeme přepsat ten celý integrál, aby bylo jednodušší to spočítat. Takže to bude integrál z 1 plus (A děleno (x plus 1)). ,A' je 5/2, takže to napíšu jako, napíšu to jako… 5/2 krát (1 děleno (x plus 1)). Napsal jsem to tak, protože je pak lehčí najít primitivní funkci. Potom plus (B děleno (x minus 1)). Což bude -3/2. Takže to napíšu jako minus (3/2 krát (1 děleno (x minus 1))). To bylo tohle, a k tomu "dx". Všimněte si, že jsem jen vzal tenhle výraz a udělal jsem rozklad na tyhle dva parciální zlomky, na tyto výrazy nebo členy, dalo by se říct. Je pak lehké integrovat tohle. Primitivní funkce k 1 bude prostě x. Primitivní funkce k 5/2 krát (1 děleno (x plus 1)), to bude plus 5/2 krát přirozený logaritmus z absolutní hodnoty z (x plus 1). To můžeme udělat, protože derivace z (x plus 1) je prostě 1, takže ta derivace tu je a můžeme to takhle udělat. Mohli byste udělat i substituci jako v předchozích videích, ,u' se rovná x plus 1. A toto bude -3/2 krát přirozený logaritmus z absolutní hodnoty z (x minus 1), podle stejné logiky jako předtím. A samozřejmě nemůžeme zapomenout na konstantu. A tady to máme. Byli jsme schopní integrovat, vyhodnotit tento výraz.
video