Soustavy rovnic I
Přihlásit se
Soustavy rovnic I (1/5) · 8:30

Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic V tomto videu je ukázán jeden z přístupů k řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Soustava je vyřešena pomocí grafu.

Navazuje na Lineární rovnice II.
Řekněme, že mám rovnici y = x + 3. Chci vysázet do grafu všechny souřadnice [x,y], které tu rovnici splňují. To jsme dělali už mnohokrát předtím. Nakreslíme si osy. Tohle je osa 'y', tohle je osa 'x'. A už je to ve tvaru 'mx + b', tedy ve směrnicovém tvaru. Průsečík osy 'y' je roven 3 a směrnice je 1. Takže ta přímka bude vypadat takto. Průsečík bude v bodě [0,3]. 1, 2, 3. V bodě [0,3]. A máme směrnici 1, takže s každým bodem vpravo jdeme o bod nahoru. Takže ta přímka bude vypadat nějak takto. To je dostatečné přiblížení. Takže přímka bude vypadat takto. A zapamatujte si, když kreslím přímku, každý bod na přímce je řešením té rovnice, tedy reprezentuje pár [x,y], který splňuje tuto rovnici. Takže když vezmete x = 5, podíváte se na přímku a uvidíte, že když x = 5, pak y = 8 je řešením. A ten bod leží na přímce. Toto reprezentuje množinu řešení rovnice, všechny souřadnice splňující y = x + 3. Řekněme, že máme další rovnici. Řekněme, že máme rovnici y = -x + 3. A chceme vysázet do grafu všechny páry [x,y], které tu rovnici splňují. Můžeme udělat to samé. Také to má průsečík s osou 'y' v bodě 3. Ale směrnice je -1. Takže to bude vypadat nějak takto. Pokaždé, posuneme-li se o 1 doprava, posuneme se také o 1 dolů. Posunete-li se doprava o kus, o ten stejný kus se posunete dolů. Takže takto vypadá tato rovnice. Každý bod na této přímce znázorňuje pár [x,y], který splňuje tu rovnici. Co kdybych se vás zeptal, zda existuje pár [x,y], který splňuje obě rovnice současně? Existuje bod nebo souřadnice, které splňují obě rovnice? Rozmyslete si to. Vše co splňuje první rovnici je na této zelené přímce a vše co splňuje tuto fialovou rovnici je na fialové přímce zde. Takže co splňuje obě? Existuje-li bod, který leží na obou přímkách, v podstatě průsečík těchto přímek. V této situaci leží tento bod na obou přímkách. A to je i průsečík osy 'y'. Takže bod [0,3] leží na obou těchto přímkách. Takže tento pár souřadnic, tento pár [x,y] musí splňovat obě rovnice. Vyzkoušejte si to. Když x = 0 zde, pak 0 + 3 = 3. Když x = 0 tady, pak x + 3 = 3. Splňuje obě tyto rovnice. Právě jsme graficky vyřešili soustavu rovnic. Soustavu rovnic. Zapíšu to. Soustavu rovnic. To znamená, že máme několik rovnic, každá z nich svazuje naše 'x' a 'y'. V našem případě je ta první y = x + 3 a ta druhá je y = -x + 3. Tohle je svázalo do přímky v rovině 'xy', tohle svázalo naši množinu řešení do další přímky v rovině 'xy'. A chceme-li znát [x,y] splňující tyto obě, bude to průsečík těchto přímek. Jedním ze způsobů řešení soustavy rovnic je tedy, že si nakreslíte obě přímky, obě rovnice a pak najdete jejich průsečík. A to bude řešením pro obě rovnice. V dalších videích uvidíme další způsoby řešení, které možná budou více matematické a méně grafické, ale opravdu jen chci, abyste rozuměli podstatě grafického řešení systému rovnic. Udělejme další. Udělejme další. Řekněme, že máme rovnici y = 3x - 6. To je jedna z rovnic. A řekněme, že další rovnice je y = -x + 6. A tak jako minule, nakresleme si je obě. Pokusím se je nakreslit nejpřesněji jak dovedu. Tady to máte. Nakreslím nějaké… 1, 2, 3… 8, 9, 10. 1, 2, 3… 8, 9, 10. A pak 1, 2, 3… 8, 9, 10. Raději jsem sem měl zkopírovat nějaký obrázek grafu, ale myslím, že to postačí. Nakresleme si tedy fialovou rovnici. Průsečík osy 'y' je -6, takže máme… 1, 2, 3, 4, 5, 6. To je y = -6. A směrnice je 3. Pokaždé, posunete-li se o 1 bod, posunete se o 3 nahoru. Posunuli jste se o 1 bod doprava, nahoru se posunete o 1, 2, 3. To je 3, že? 1, 2, 3. Tato rovnice, ta přímka bude vypadat takto. Vypadá to, že jsem protnul osu 'x' v bodě [2,0], což je správně. 3 krát 2 je 6, minus 6 je 0. Takže naše přímka bude vypadat asi nějak takto. To je ta přímka. Co tato přímka? Průsečík osy 'y' je +6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. A směrnice je -1. Pokaždé, když jdeme o 1 bod doprava, jdeme dolů o 1 bod. 1 bod doprava - 1 bod dolů. 1 bod doprava - 1 bod dolů. A tohle protne… Když y = 0, pak x = 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Takže tady. Takže ta přímka bude vypadat takto. Graf… chci to udělat co nejpřesněji. A položíme si tu stejnou otázku. Jaký je pár [x,y], který splňuje obě rovnice? Podíváte se sem, bude to tento bod. Tento bod leží na obou přímkách. Uvidíme, zda přijdeme na to, co za bod to je. Při letmém pohledu na graf to vypadá, že jsme na [3,3]. Vypadá to, že je to ten samý bod zde. Že tohle je bod [3,3]. Dělám to na ručně kreslených grafech, takže to možná není tak přesné… Zkontrolujme si to. Podívejme se, zda x = 3 a y = 3 naprosto splňují obě tyto rovnice. Pokud bychom zkontrolovali první rovnici, dostaneme, že 3 = 3 · 3 - 6. To je 9 minus 6, což je vskutku 3. Takže [3,3] splňuje horní rovnici. Podívejme se, zda splňuje spodní rovnici. Máme 3 = -3 + 6 -3 plus 6 je vskutku 3. I přes ručně kreslený graf jsme byli schopni to prozkoumat a zjistili jsme, že ano, přišli jsme na bod [3,3] a ten opravdu splňuje obě rovnice. Byli jsme schopni vyřešit tuto soustavu rovnic. Soustavou máme na mysli mnoho rovnic, které mají mnoho neznámých. Nemusí nutně mít, ale mají tendenci jich mít víc než jednu. A použijete každou rovnici jako podmínku na vaše proměnné a zkusíte najít průsečík těchto rovnic, abyste našli řešení pro všechny. V dalších videích uvidíme více algebraické způsoby řešení, než je kreslení jejich grafů a hledání průsečíků.
video