Soustavy rovnic III
Soustavy rovnic III (2/4) · 8:23

Soustava tří rovnic s jediným řešením Máme tři rovnice o třech neznámých a hledáme řešení (bez použití matic). Je dobré si uvědomit, že takové řešení graficky odpovídá souřadnicím [x,y,z] průsečíku 3 rovin.

Navazuje na Soustavy rovnic II.
Vyřešte tuto soustavu. Máme zde tři rovnice o třech neznámých. Jen abyste si to dokázali představit, každá z rovnic představuje rovinu ve třech rozměrech. V podstatě se snažíte zjistit, kde se ty tři roviny ve třech rozměrech protnou. Nepůjdu do podrobností, zaměřím se na postup, můžete si ale představit… Nakreslím zde trojrozměrný prostor. Máme tu osy x, y a z. Můžete si představit, že ta první rovina… Nekreslím to tak, jak to opravdu vypadá. Může to vypadat nějak takto. Kreslím tu pouze část roviny. Možná, že tato rovina… Protne ji tady a pokračuje za ni. Pokračuje v každém směru, kreslím jen část rovin. A tato rovina možná dělá něco takového. Možná je protne tady a tady. Vykoukne tady, projde pod ni a pak pokračuje takto. Dělám to jen pro představu. Průsečík těchto rovin, souřadnice x,y,z, které splňují tyto tři podmínky tak, jak jsem je tu nakreslil, by byl zde. Toto tedy hledáme. V mnoha případech bude soustava nekonzistentní. Nebudete mít řešení, protože bude možné, že se tři roviny neprotnou v jednom místě. Jednoduchý případ: můžou být navzájem rovnoběžné. Nebo se mohou protnout v takovém trojúhelníku. Jedna rovina vypadá takto, druhá projde skrz a pak pod ni a pak se připojí třetí. Udělá to něco takového, protne tuto rovinu zde, pokračuje takto, ale tuto rovinu protne zde. Takže vidíte takový trojúhelník, kde se roviny neprotínají v jednom bodě. V takové situaci máte nekonzistentní systém. Pusťme se tedy do řešení této soustavy. Trik spočívá v tom pokaždé vyloučit nějakou proměnnou ze všech rovnic, a ujistit se, že máme informaci ze všech rovnic. Nejsnazší bude vyloučit y, tady mám +y, tady -y a tady opět +y. Sečteme tyto dvě rovnice a získáme další, která bude jen s proměnnými x a z. Pak použijeme tyto dvě rovnice k získání další, která bude jen s x a z. Budeme mít veškerou informaci o x a z, protože použijeme všechny tři rovnice. Pusťme se tedy do toho. Sečtěme nejdříve tyto dvě rovnice. Máme x plus y minus 3z je rovno -10 a x minus y plus 2z je rovno 3. Chceme-li vyloučit 'y', stačí doslova jen sečíst tyto rovnice. Na levé straně: x plus x je 2x, y minus y se odečte, -3z plus 2z dá -z. Na pravé straně: -10 plus 3, což je -7. Pomocí těchto dvou rovnic máme 2x minus z je rovno -7. Teď udělejme tyto dvě rovnice. Můžeme používat tuto, dokud k ní přidávám další informaci. Teď přidávám další podmínku ze spodní rovnice. Máme x minus y plus 2z je rovno 3 a dále 2x plus y minus z je rovno -6. Chceme-li vyloučit y, sečteme rovnice. x plus 2x je 3x, -y plus y se odečte, 2z minus z je jen z. To bude rovno 3 plus -6, což je rovno -3. Sečtu-li tyto dvě rovnice, dostanu 3x plus z je rovno -3. Teď mám soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. To je tradiční příklad. Máme 2x minus z je rovno -7 a dále 3x plus z je rovno -3. Příklad je nastaven tak, aby to šlo pěkně rychle, protože stačí jen sečíst rovnice a vyloučíme z. Pokud by to nešlo tak snadno, museli bychom rovnice ještě násobit. Nám stačí rovnice sečíst. Na levé straně: 2x plus 3x je 5x, -z plus z se odečte. Na pravé straně: -7 minus 3, to je -10. Vydělíme obě strany 5 a dostaneme x je rovno -2. Teď můžeme dosadit zpětně a najít zbylé neznámé. Můžeme dosadit sem a zjistit, kolik bude rovno z. Máme 2 krát x, 2 krát (-2) minus z je rovno -7. Neboli -4 minus z je rovno -7. Přičteme 4 k oběma stranám a dostaneme -z se rovná -7 plus 4, což je -3. Vynásobíme obě strany (-1) a dostaneme z je rovno 3. Teď můžeme dosadit do původních rovnic. Máme x. Víme, že x je rovno -2. Máme tedy -2 plus y minus 3 krát z. Víme, že z je rovno 3, takže 3 krát 3, to dohromady by mělo být rovno -10. Teď jen vyjádříme y. Máme -2 plus y minus 9 je rovno -10. -2 minus 9, to je -11. Máme tedy y minus 11 je rovno -10. Přičteme 11 k oběma stranám rovnice. Dostaneme y je rovno -10 plus 11, což je rovno 1. A jsme hotovi! Máme x je rovno -2, z je rovno 3 a y je rovno 1. Teď to můžeme ověřit. Ověřit, že tyto x,y,z platí pro všechny podmínky, že tato třírozměrná souřadnice leží ve všech třech rovinách. Vyzkoušejme to. Máme x rovno -2, z je 3 a y je 1. Dosadíme-li… Udělám to ve všech. V této první: -2 plus 1… Vzpomeňte si, y je rovno 1… Napíšu to sem, y je 1, x je -2, z je 3. To je výsledek, který jsme dostali. Otestujeme-li první rovnici, dostaneme -2 plus 1 minus 3 krát 3, tedy minus 9. To by mělo být rovno -10. A také že je. -2 plus 1 je -1, -1 minus 9 je -10. Platí to tedy pro tu první. Vyzkoušejmě druhou rovnici. Zde máme -2 minus y, tedy minus 1, plus 2 krát z, z je 3, takže 2 krát 3. …takže plus 6 a to celé je rovno 3. Toto je -3 plus 6, což je opravdu rovno 3. Splňuje to tedy i druhou rovnici. Ještě tu máme tu třetí. 2 krát x, takže 2 krát (-2), což je -4. …plus y, takže plus 1, minus z, takže minus 3. To musí být rovno -6. -4 plus 1 je -3 a pak opět minus 3. To se rovná -6. Splňuje to tedy všechny tři rovnice, můžeme být na náš výsledek pyšní.
video