Binomická věta
Přihlásit se
Binomická věta (6/6) · 4:06

Propojení binomické věty s kombinatorikou - důkaz 2 Navážeme na předchozí video a zamyslíme nad tím, odkud se vzalo spojení binomické věty s Pascalovým trojúhelníkem.

Navazuje na Kořeny mnohočlenů.
V tomto videu bych chtěl více prohloubit naše pochopení binomické věty a jejího propojení s kombinatorikou a Pascalovým trojúhelníkem. Jen pro zopakování myšlenky, pokud máme (x plus y) na třetí, a používám to jen jako jednoduchý příklad, je to vlastně jako bychom vzali tři stejné výrazy a násobili je spolu. Bereme (x plus y) krát (x plus y) krát (x plus y). Řekněme, že tohle je to první (x plus y), tohle druhé (x plus y) a tohle třetí (x plus y). Podíváte se na rozklad tohoto a zeptáte se, kolika způsoby můžeme vytvořit x(y na druhou). Anebo jiný způsob přemýšlení je, že máte tyto tři výrazy a vyberete z nich dva, ze kterých vezmete ,y' a uděláte součin. Například vezmete první a druhý výraz, abyste z nich vzali ,y'. Nebo můžete vybrat první a třetí, abyste z nich vzali ,y'. A nebo můžete vybrat druhý a třetí, abyste z nich vzali ,y'. Z toho posledního výrazu se pak samozřejmě vezme ,x'. Máte tři výrazy a vyberete dva, abyste z nich vzali ,y'. A proto je v tom myšlenka z kombinatoriky, je to 3 nad 2. Je to úplně stejný matematický problém, jako když máte tři kamarády a vybíráte dva, kteří s vámi pojedou v autě. A je vám jedno, kde přesně kdo sedí. Jen se ptáte, kteří dva z vašich kamarádů s vámi pojedou v autě. Které dva kamarády si vyberu? Stejným způsobem tady, které dva ze tří kamarádů vyberu, aby mi dali ,y' do mého součinu? A ten třetí mi pak dá ,x'. Teď pojďme na Pascalův trojúhelník a snad uvidíte, že v tom je velmi podobná myšlenka. Můžeme jít k tomu samému členu, takže člen x(y na druhou), ten je tady. Pascalův trojúhelník si vždy představuji jako mapu. Tohle je bod v té mapě a přemýšlím, jakými různými způsoby se k tomuto bodu mohu dostat. Můžu mít (y na druhou), které pak vynásobím x. Protože násobíme x, udělal jsem tuhle oranžovou čáru. Anebo můžu mít xy a vynásobit ho modrou. Takže nad tímhle jsem dva body, ze kterých můžu dojít přímo sem. Ale k tomuto bodu se dostanu dvěma způsoby a k tomuto bodu jedním způsobem, takže počet cest k tomuto bodu je dohromady 2 plus 1, což je 3. Jen pro spojení s tím, co jsem říkal předtím, ve skutečnosti se tu děje to, že když u každého bodu vybíráme cestu, tak vlastně říkáme, jestli vybíráme ,x', nebo ,y' z každého z těchto výrazů. Vypočítáváme možnosti, vyjmenujme je tady. Tohle bude třeba výraz jedna, tohle výraz dvě, tohle je výraz tři. Řekli jsme, že se sem můžeme dostat třemi cestami, tak je pojďme vyznačit. Je tu tahle cesta, tahle cesta, která nás tam dostane, a ta odpovídá vybrání ,x' z prvního výrazu. Všimněte si, že jsme šli nejprve doleva a pak doprava. Bereme ,y' z druhého výrazu a ,y' z třetího výrazu. U posledních dvou jsme vybrali ,y', vybrali jsme modrou cestu. To je v podstatě jeden způsob, jak vybrat z těch výrazů dvě ,y'. Ještě jednou, je to jeden způsob pro vybrání dvou ,y' ze tří výrazů, ale nás nezajímá jen ten jeden, zajímají nás všechny různé cesty. Tohle byla jedna možnost, další možnost by byla taková. Vzít ,y' z prvního, ,x' z druhého a ,y' ze třetího. Nebo vzít ,y' z prvního, ,y' z druhého a ,x' ze třetího. Je to opravdu základní úroveň matematiky. Řeší to úplně stejný příklad. Snad vám to dává intuitivní náhled do toho, proč Pascalův trojúhelník souvisí s kombinatorikou a proč jsou oba způsoby užitečné pro nalezení binomického rozvoje.
video