Pravděpodobnostní rozdělení
Přihlásit se
Pravděpodobnostní rozdělení (5/7) · 13:26

Binomické rozdělení 3 Binomické rozdělení a příklad z basketbalu.

Navazuje na Kombinatoriku.
Podíváme se na další příklad binomického rozdělení. Řekněme, že hraji basketbal. Budu mít deset hodů ve hře. Mám 10 hodů. Pak n je rovno 10. To je počet hodů. Řekněme, že každý hod je nezávislý. A že mám pravděpodobnost 30 %, že se trefím do koše. Více nás teď nemusí zajímat. Za kolik bodů to bylo. Ok. Pokaždé, když hodím, mám 30% pravděpodobnost, že skóruji. Takže pravděpodobnost úspěchu je 30 %. Pravděpodobnost je rovna 30 %. To je zadání. Definujme nezávislou proměnnou X, jako obvykle. X je rovno počtu úspěšných hodů. Jde o počet košů, které jsem hodil. To je zajímavější případ, než hod mincí, protože v případě mincí měla hlava a orel stejnou pravděpodobnost, že padne. V této situaci má každý hod spíš menší šanci, že bude košem. Řekněme, že bude neúspěchem. Hod mimo koš je 1 mínus pravděpodobnost hodu do koše, tj. 70 %. Je v tom trochu rozdíl od minule. Jde o zajímavější příklad ze života. Podívejme se na rozdělení. Také mám víc hodů, než minule. Takže to bude trvat trochu déle. Vlastně je to trochu moc. Nechci, aby to trvalo moc dlouho. Tak to změníme na 6 hodů. A náhodná proměnná X je počet hodů, které trefím do koše. Tak zkusme spočítat tuto pravděpodobnost. Jaká je pravděpodobnost, že X je rovno 0? Netrefím se do koše ani jednou. Takže hodím 6 krát a pokaždé minu koš. Aby se to stalo, musí se něco opakovat 6 krát za sebou. Takže něco se 70% pravděpodobností se musí stát 6 krát za sebou. Pravděpodobnost toho je 0,7--tj. 70 %-- krát 0,7 krát 0,7 krát 0,7--jak dál? To je 0,7 krát 0,7 krát 0,7 krát 0,7 krát 0,7 krát 0,7. Každý z těchto hodů netrefí koš, druhý třetí hod atd. To se rovná 0,7 na šestou. To teď nebudeme počítat. Tak se k tomu dostanu: musím se netrefit pokaždé, když hodím X se pak rovná 0. Jaká je pravděpodobnost, že se trefím do koše jednou? Trefím koš poprvé a ostatní hody netrefím do koše. Mohu minout všechny kromě druhého. Nebo všechno kromě třetího. Jaká je pravděpodobnost každého případu? Skóruji koš. Budu tomu říkat "skóroval." Škoda, že "skóroval" a "selhal" začínají hláskou "s". Budu tomu říkat, "bod" (point) a "mimo" (miss). Takže to je bod a pět mimo. Je to mimo, mimo, mimo, bod, mimo, mimo. Je několik kombinací. Je 6 kombinací. Hod bude 1 z těchto 6-- nechci říct "košů" jako v basketbalu. Může to být jedno místo z šesti míst. V 1 z 6 hodů, které udělám. Máme šest kombinací. Jaká je pravděpodobnost každé z nich? Je 30% šance, že se stanou. A tyto mají 70 % šanci, že se stanou. Takže to je 0,3 krát 0,7 krát 0,7 krát 0,7 krát 0,7 krát 0,7. To je 0,7 na pátou. Krát 0,7 na pátou. To je pravděpodobnost, se kterou se to stane. Jaká je šance, že se stane toto? Ok. Máme 0,7 krát 0,7 krát 0,7 krát 0,3 krát 0,7 krát 0,7. Stále jde o 0,7 krát 0,7, a to pět krát. 0,7, 0,7, 0,7, 0,7, 0,7. To je 0,7 na pátou a krát 0,3 a to jednou. Je jedno, kolikátý bude koš, šance těchto permutací je pořád 0,3 krát 0,7 na pátou, ve všech případech. A kolik je tu případů? To jsme si právě ukázali. Je 6 způsobů. Možná se trefím poprvé. Možná až napodruhé, nebo jen napotřetí. Atd. Takže pravděpodobnost, že X je rovno 1--pravděpodobnost, že naše náhodná proměnná je rovna 1 je rovno 6 krát 0,3 krát 0,7 na pátou. Teď to propojíme s binomickým rozdělením, kde jsme měli n nad 0 zde, jaký je binomický koeficient? V našem příkladu n je 6, takže co je 6 nad 0? To je faktoriál 6 lomeno faktoriál 0, krát faktoriál 6 mínus 0. 6 mínus 0 je prostě 6. Takže faktoriál 6 děleno faktoriál 6, to se vykrátí. Zůstává nám 1. A kolik je faktoriál 0? To je matematická zvláštnost. Nechám vás o tom přemýšlet. A také jsme to dělali v předchozím videu. Faktoriál 0 je--aby to dobře fungovalo-- definován jako roven 1. Tím jsem ukázal, že se jedná o binomický koeficient k této situaci. Takže násobíme 1. Ani jsem o tom nemluvil. Pravděpodobnost, že se tak stane je 0,7 k šesté. A pak to vynásobíme binomickým koeficientem. Je jeden způsob, jak se to může stát. A proto to bylo 1. Nechtěl jsem to dělat příliš složité. Ale stále jsme použili binomický koeficient. O co jde? Také jsme hodili 6 krát. Vybrali jsme pouze 1 z nich za koš. Takže co je 6 nad 1? To je faktoriál 6 lomeno faktoriál 1, děleno faktoriál 6 mínus 1. To je faktoriál 6 děleno--faktoriál 1 můžeme vynechat. To je jen 1. Děleno faktoriál 5. Co je to? To je 6 krát 5 krát 4 krát 3 krát 1 děleno 5 krát 4 krát 3 krát 1. Takže se to vykrátí kromě 4 z 6. A odsuď jsme vzali naši šestku. Na to jsme přišli úvahou, která je myslím lepší. Chtěl jsem ukázat, že stále používáme binomické koeficienty. To je 6 nad 1. Pak násobíme krát pravděpodobnost, že se stane jakákoliv z těchto permutací. A to by mělo být 1 koš a ostatní mimo. A dál. Myslím, že je to lépe pochopitelné. Jaká je pravděpodobnost, že udělám dva koše? Jaká je pravděpodobnost, že netrefím, netrefím, netrefím, netrefím, a pak dvakrát skóruji? Dvě trefy? Nechci to dělat sližité. Řekněme, že každý koš dává 1 bod podle našich pravidel. Jaká je pravděpodobnost? Jestliže 0,7 krát 0,7 krát 0,7 krát 07 krát 0,3 krát 0,3. Pak toto je 0,7 na 1, 2, 3, 4 krát 0,3 na druhou. To pro každý z těchto případů. Toto není jediný způsob, jak se dvakrát trefit. Vyberu jakoukoliv z těchto možností, ve které hodím dva koše. Prostě některá z kombinací, která se stane. Toto není jediný případ. Pravděpodobnost této možnosti (!) přesně poslední dva koše, tady zde. Jestli chci dát dohromady všechny způsoby, že trefím koš dvakrát, řeknu Při 6 hodech vybírám 2 jako skóre. Kolik nám zůstane? Takto: Faktoriál 6 lomeno faktoriál 2, faktoriál 6 mínus 2. Je rovno--když to vynásobím. Je to 6 krát 5 krát 4 krát 2 krát 1 nad 2 krát 1. To je faktoriál 4, 6 mínus 2 je faktoriál 4. 4 krát 3 krát 2 krát 1. A zapomněl jsem zde napsat 4. 6 krát 5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1. To se vykrátí. 2 a 6 je 3, takže 15. Je 15 způsobů, jak hodit přesně dvakrát do koše, pokud nám nezáleží na pořadí. Takže tento bod a tento bod, pro ně obrácené pořadí nevadí. Jde o stejný případ. Dal jsem koš dvakrát na konci. To neznamená, že jsem dal koš předposlední jedním způsobem a poslední koš druhým způsobem. Neděláme takový rozdíl. Jen, že jsme je dali. Je tedy 15 různých způsobů dát 2 koše z 6 hodů. Pravděpodobnosti každého je 0,7 na čtvrtou krát 0,3 na druhou. Takže pravděpodobnost dát přesně dva koše bude 6 nad 2 krát 0,7 na čtvrtou krát 0,3 na druhou. A dále. Uděláme to rychle. Pravděpodobnost, že hodím tři koše, stejným způsobem. Jaká je pravděpodobnost-- v jakékoli kombinaci--kolik je kombinací 3 košů? Házím 6 a skóruji 3 (6 nad 3) Jaká je pravděpodobnost každé kombinace, ve které skóruji 3 koše a netrefím další tři koše. A hodím třikrát koš (! mělo být 0,3 na třetí) Takže výpočet je jasný. A jistě už víte. Já to udělám. To je faktoriál 6 lomeno faktoriál 3 krát faktoriál 6 mínus 3. krát tato část--0,7 na třetí krát 0,3 na druhou (! mělo být na třetí). Tady to bude rychlejší. Pravděpodobnost, že hodím 4 koše. 6 krát házím a 4 krát skóruji. To je 4 z 6. Jestliže dám 4 koše a 2 hody netrefím, pak netrefím 2 hody. 0,7 krát 0,7. To je pravděpodobnost neúspěchu--0,7. A pak 4. Takže 0,3--to je 30% šance, každého z nich. Takže to je 4, 0,3 na čtvrtou. V kterékoli kombinaci trefím koš 4 krát. Toto je pravděpodobnost. A toto je počet různých kombinací. To je rovno faktoriál 6 lomeno faktoriál 4 krát faktoriál 6 mínus 4. A pak krát 0,7 na druhou krát 0,3 na čtvrtou. Toto je faktoriál 2. A zde nahoře. 6 nad 2 byl stejný případ. Bylo to faktoriál 6 nad faktoriál 2 děleno faktoriál 4. Je to stejné, jen jsme vyměnili čtyřky za dvojky. To je také rovno 15. To uděláme v dalším videu. Teď spočítáme toto. Jaká je pravděpodobnost, že X se rovná 5? Udělám 5 košů. To je 6 nad 5 krát 0,7. Netrefím jeden koš. Pravděpodobnost, že netrefím jeden je 0,7 a pak musím trefit 5, ne nezbytně za sebou--03 to pátou. V kterékoli kombinaci trefím 5 košů. A toto je pravděpodobnost. Je zde více kombinací při 5 z 6. Abych udělal 5 košů. Jestli udělám 5 prvních a netrefím šestý. Nebo pět posledních hodů budou koše. První se netrefí, pak druhý. Atd. A nakonec pravděpodobnost je X rovno 6? Všechny hody skórovaly. To je 6 nad 6. Kolika způsoby mohu vybrat 6 věcí z 6 možností? Jenom jedním způsobem. To bychom spočítali takto. Ještě jednou, faktoriál 0 je 1. Hodím koš šestkrát. Takže 0,3 na šestou. 0,3 krát 0,3 krát 0,3 krát 0,3--a budeme znovu končit. V dalším videu si z toho nakreslíme graf.
video