Vlastnosti trojúhelníků
Přihlásit se
Vlastnosti trojúhelníků (8/20) · 7:58

Kružnice opsaná trojúhelníku S využitím znalosti podobnosti trojúhelníku si dokážeme, že střed kružnice vepsané trojúhelníku leží na průsečíku os jeho úhlů.

Mám tu trojúhelník ABC. V minulém videu jsme prozkoumávali některé vlastnosti bodů ležících na osách úhlů a nyní chci vidět, co se stane, když tyto nápady aplikujeme na trojúhelníky nebo na úhly v trojúhelnících. Pojďme rozpůlit tento úhel, úhel BAC. Nakreslím osu úhlu, která by mohla vypadat nějak… Chci se ujistit, že ho rozpůlím přesně. Vypadá to docela přesně. Takže to je osa úhlu. Tomuto bodu budeme říkat, nevím… Mohl bych mu říkat bod D. A teď nakreslím další osu úhlu, která bude půlit úhel ABC. Takže ji nakreslím. Zdá se, že by mohla vypadat nějak takhle. Tomuto bodu bych mohl říkat bod E, takže AD půlí úhel BAC a BE půlí úhel ABC. Fakt, že tato zelená čára AD půlí tento úhel, nám říká, že tento úhel musí být stejný jako tento úhel. Musí mít stejnou velikost. Fakt, že toto půlí tento úhel, úhel ABC, nám říká, že velikost tohoto úhlu, úhlu ABE, musí být stejná, jako velikost úhlu EBC. EBC Nyní jasně vidíme, že se protnuly v tomto bodě uvnitř trojúhelníku. Budeme mu říkat I, jen tak pro zábavu… … vím, přeskakuji pár písmenek, ale bude to užitečné písmeno, vzhledem k tomu, jak mu budeme za chvíli říkat, O písmenku I víme několik zajímavých věcí. I leží na obou těchto osách úhlů a v předchozím videu jsme viděli, že jakýkoliv bod, jenž leží na ose úhlu je stejně vzdálený od obou stran daného úhlu. Například I leží na AD, takže bude stejně vzdálené od obou stran úhlu BAC. Takže od této strany… a od této strany. Protože I leží na AD, víme, že tyto dvě vzdálenosti budou stejné, za předpokladu, že toto je ta nejkratší vzdálenost mezi I a těmi stranami. V předchozím videu jsme si také ukázali, že když mluvíme o vzdálenosti mezi bodem a přímkou, mluvíme o nejkratší vzdálenosti, vzdálenosti, kterou dostanete, když povedete kolmici, takže proto jsem tudy vedl kolmice. Pojďme to označit. Toto může být bod F, toto by mohl být bod G. Protože I leží na AD, tedy na ose úhlu, tak víme, že IF se bude rovnat IG. Docela jasné. I také leží na této ose úhlu. Také leží na BE, což znamená, že musí být stejně vzdálené od bodu A… Vzdálenost od AB musí být stejná jako vzdálenost od BC. Vzdálenost bodu I od AB jsme již určili - je to IG. Ale také víme, že tato vzdálenost musí být stejná jako vzdálenost bodu I od BC. Takže kdybych tu nakreslil další kolmici… Řekněme, že tomuto bodu budu říkat… … ještě jsem nepoužil H. ...tak tato vzdálenost musí být stejná jako tato, protože I leží na této ose. Takže IG se musí rovnat IH. Ale IF se také rovná IG, takže bychom mohli říct, že když IF se rovná IG, což se rovná IH, tak víme, že IF se rovná IH. To se dá odvodit selským rozumem. Tohle se rovná tomuto, tohle se rovná tomuto, a pak jsou si tyhle dvě rovny. Ale když I je ve stejné vzdálenosti od obou stran úhlu, to je druhá část toho, co jsme dokázali v předchozím videu. Když máte bod, který je stejně vzdálený od obou stran úhlu, tak musí ležet na ose daného úhlu, což nám říká, že I musí ležet na ose úhlu, I leží na ose úhlu ACB protože je stejně vzdálený od obou stran úhlu ACB. Právě jsme si ukázali, že existuje jedinečný bod uvnitř trojúhelníku, který leží na všech třech osách úhlů. Není vždy jasné, že kdybyste vzali 3 přímky… Vlastně obecně 3 přímky se nemusí protínat v jednom bodě. Dvě přímky, to je rozumné, ale tři přímky se vám ne vždy protnou v jednom bodě. Ale znovu… Se středem kružnice opsané, kde jsme vzali osy stran, to bylo docela hezké, že se protly v jednom bodě. Teď je hustý, že si ukazujeme, že osy úhlů se všechny protnou v jednom jedinečném bodě. I leží na ose úhlu ACB, takže osa úhlu ACB bude vypadat nějak takhle. A tento úhel bude shodný s tímto úhlem. Právě jsme si ukázali, že když vezmeme 3 osy úhlů v trojúhelníku, tak se protnou v jedinečném bodě, který leží na všech třech osách. Vyplatí se dát tomu speciální název a taky to speciální název má! Proto jsem bod pojmenoval I. protože bodu I říkáme střed kružnice vepsané. Střed kružnice vepsané trojúhelníku ABC. Uvidíte, proč se tomu říká střed kružnice vepsané. Mluvíme-li o středu kružnice opsané, tak to je střed kružnice, která se dá opsat danému trojúhelníku. Za 5 sekund uvidíme, že I je středem kružnice, která se dá vložit dovnitř do trojúhelníku a tečuje všechny 3 strany. Jak ji sestrojíme? Právě jsme určili, že bod I je stejně vzdálený od všech stran, že tato délka se rovná této délce, a ta se rovná této délce. Co se stane, když sestrojíme kružnici se středem v bodě I a poloměrem, který se rovná vzdálenosti bodu I od kterékoliv z těchto stran, tedy IF, IG nebo IH? Dostanete kružnici, která vypadá nějak takto. Nakreslím to trochu lépe… Můj nejlepší pokus, jak nakreslit kružnici. Tato kružnice má poloměr, který se rovná vzdálenosti bodu I od kterékoliv ze stran, které se, jak jsme si již určili, rovnají. Vidíme, že kružnice leží uvnitř trojúhelníku, takže jí budeme říkat kružnice vepsaná! Takže kružnice I... Pamatujte si, že kružnice většinou pojmenujete podle středu. Kružnice I je kružnicí vepsanou trojúhelníku ABC. Samozřejmě, že poloměr kružnice I, mohli bychom ho pojmenovat R, se rovná IF, což se rovná IH, což se rovná IG. Mohli bychom té vzdálenosti říkat poloměr kružnice vepsané. Dává to smysl, protože je to uvnitř. Když jsme mluvili o průsečíku os stran, měli jsme střed kružnice opsané, protože to byl střed kružnice, která je opsaná okolo trojúhelníku. Teď máme průsečík os úhlů, pomocí kterého jsme schopni definovat kružnici uvnitř trojúhelníku, jehož strany se dotýkají dané kružnice. A protože je uvnitř, říkáme jí kružnice vepsaná. Průsečíku os úhlů říkáme střed kružnice vepsané a této vzdálenosti říkáme poloměr kružnice vepsané.
video