Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (11/23) · 6:01

Derivace složitějšího logaritmu - příklad Derivaci přirozeného logaritmu už dobře známe. Jak se ale vypořádat s tím, když bude v argumentu lomený výraz? Je načase oprášit vzorečky založené na vlastnostech logaritmů.

Navazuje na Derivace funkce.
Řekněme, že máme funkci f(x), která se rovná přirozenému logaritmu (x plus 5) lomeno (x minus 1). A co chceme vyřešit je, co je f'(x). Jaká je derivace f(x). A vyzývám vás, pozastavte toto video a zkuste si to nejdřív sami. Jsou dva způsoby, jak k tomu přistupovat. Jeden bych nazval lehkým, a druhý způsob těžkým. A my si ukážeme oba. Ten lehký je použít vlastnosti logaritmu, vzpomenout si, že přirozený logaritmus (a/b), jak víme, ln je jen logaritmus o základu 'e'. Takže toto se bude rovnat přirozenému logaritmu 'a', minus přirozený logaritmus 'b'. Takže když použijeme vlastnosti logaritmů tady, a zjednodušíme tento výraz, nebo asopň zjednodušíme z pohledu derivace, můžeme přepsat f(x). Můžeme psát, že f(x) je rovno přirozenému logaritmu (x plus 5) minus přirozený logaritmus (x minus 1). A když to teď zderivujeme podle x, f s čárkou x, to bude derivace přirozeného logaritmu (x plus 5) podle (x plus 5). To bude 1 lomeno (x plus 5), krát derivace (x plus 5) podle x. Jen používám řetízkové pravidlo. A to bude jednoduše 1. Takže derivace tohoto je toto. A derivace tohoto, uvidíme. Tady budeme mít minus, a derivace přirozeného logaritmu od (x minus 1) podle (x minus 1) bude 1 lomeno (x minus 1) a pak derivace (x minus 1) podle x je jednoduše 1. Násobení 1 vlastně nezmění hodnotu a jsme hotovi! Spočítali jsme derivaci f. Mohli byste se ptát, jaký je ten těžký způsob, nebo možná jste to tak dělali, když jste se o to pokoušeli sami. To je nezjednodušit ten výraz použitím této vlastnosti a pokusit se tím probít použitím řetízkového pravidla. Takže to tak zkusíme. Takže, f'(x) bude derivace této celé věci podle (x plus 5) lomeno (x minus 1). Takže to bude 1 lomeno [(x plus 5) lomeno (x minus 1)] krát derivace podle 'x' z [(x plus 5) lomeno (x minus 1)]. Je to jen řetízkové pravidlo. Derivace toho celého podle tohoto výrazu krát derivace tohoto výrazu podle x. Jen řetízkové pravidlo. Podívejme se, tohle bude rovno... Použiji tu nějaké barvy. Tohle zarámečkuji v modré, to je to samé jako (x minus 1) lomeno (x plus 5). Beru jen převrácenou hodnotu tohoto. A pak to bude krát, a udělám to purpurově. To není purpurová. Takže to bude krát, a přepíšu to jako derivaci podle x z (x plus 5) krát (x minus 1) umocněno -1. Rád to píšu takto, protože vždycky zapomenu vždycky zapomenu to pravidlo pro zlomky. Ale pamatuji si pravidlo pro součin, takže toto. Přepíšu to. Myslím, že už vídíte, proč je to ten těžký způsob. Takže píšu (x minus 1) lomeno (x plus 5) krát, použijeme pravidlo pro součin... krát derivace z (x plus 5). To je jednoduše 1 krát ten druhý člen, krát (x minus 1) na -1. To je 1 lomeno (x minus -1), a pak plus... Co je derivace (x minus 1) na -1? Podívejme se, to bude záporné (x minus 1) na -2. Můžu říct -1 lomeno (x minus 1) na -2 nebo to můžu napsat takto. A pak krát derivace (x minus 1) podle x. To bude 1. A pak krát toto, (x plus 5). Krát (x plus 5). Použil jsem jen pravidlo pro součin. Derivace tohoto je 1, krát toto a to nám dalo toto tady. A pak jsem vzal derivaci tohoto, což je tohle. -1 lomeno (x minus 1) na druhou, nebo můžete říct -(x minus 1) na -2. Krát tento první výraz támhle, takže to je ta derivace, a teď se podívejme, jestli to jde zjednodušit. Takže kdybychom, podívejme, kdybychom... raději to všechno přepíšu. Takže tohle je (x minus 1) lomeno (x plus 5) krát 1 lomeno (x minus 1). Minus (x plus 5) lomeno ((x minus 1) na druhou). Teď se zamysleme, co se stane, když to roznásobíme. Takže když pronásobíte toto s tímto. Tento čitatel se pokrátí s tím jmenovatelem, a tak dostaneme 1 lomeno (x plus 5). A když to pronásobíte s tímto, to (x plus 5) se vykrátí s (x plus 5) a jeden z těch (x minus 1) se vykrátí s jedním z těch (x minus 1). Takže nám zůstane jen jednou (x minus1) ve jmenovateli. Takže f'(x) je rovno tomuto, a máme štěstí, dostali jsme stejnou odpověď oběma způsoby. Ale jak vidíme, ten lehký způsob byl mnohem lehčí, než ten těžký.
video