Kruhy a kružnice
Přihlásit se
Kruhy a kružnice (10/24) · 14:17

Věta o trojúhelníku vepsaném do kružnice Pomocí dvou příkladů si odvodíme vztahy, které platí pro úhly v trojúhelníku vepsaném do kružnice.

Navazuje na Obvod, obsah, objem II.
V tomto videu chci udělat důkaz jednoho z nejvíce užitečných tvrzení v geometrii, a to je to, že obvodový úhel… To je úhel, jehož vrchol leží na obvodu kružnice. Toto je náš obvodový úhel. Označím jej Ψ (psí). Budu používat Ψ pro obvodové úhly. Obvodový úhel Ψ je přesně 1/2 středového úhlu, který vymezuje stejný oblouk. Použil jsem hodně odborných výrazů, ale myslím si, že pochopíte, co jsem se snažil říct. Tohle je Ψ. Je to obvodový úhel. Jeho vrchol leží na kružnici. Pokud nakreslíte ven dvě polopřímky, které vychází přímo z tohoto úhlu, a definují tento úhel, tak to protne kružnici na druhém konci. A pokud se podíváte na tu část kružnice, která je uvnitř, tak to je ten oblouk, který je náleží Ψ. Jsou to všechno odborné výrazy, ale myslím si, že myšlenka je celkem přímočará. Toto napravo je oblouk ohraničený Ψ, kde Ψ je tento obvodový úhel zde, vrchol leží na kružnici. Středový úhel je úhel, jehož vrchol leží ve středu kružnice. Řekněme, že toto zde… Zkusím to zvětšit. Toto zde je střed kružnice. Nakreslím středový úhel, který vymezuje stejný oblouk. Vypadá to jako středový úhel, který vymezuje stejný oblouk. Přesně takto. Nazveme to Θ (théta). Tento úhel je Ψ, tento úhel zde je Θ. V tomto videu dokážu, že Ψ je vždycky rovno 1/2 krát Θ. Takže kdybych Vám řekl, že Ψ je rovno, například, 25 stupňům, tak byste hned věděli, že Θ musí být rovno 50 stupňům. Nebo bych řekl, že Θ má 80 stupňů, tak byste hned věděli, že Ψ má 40 stupňů. Tak to pojďme dokázat. Tohle smažu. Dobrý způsob, jak začít, nebo jak já začnu, je probrat speciální případy. Nakreslím obvodový úhel, kde ale jedna z tětiv je průměr kružnice. To tedy není obecný případ, tohle je speciální případ. Toto je střed kružnice. Zkusím to zvětšit. Střed vypadá takto. Nakreslím průměr. Průměr vypadá nějak takto. Pak nakreslím obvodový úhel. Poloměr je jeho jedna část. A pak druhá část třeba nějak takto. Toto nazvu Ψ. Tato vzdálenost je poloměr, to je poloměr kružnice. Pak tato délka bude také poloměr této kružnice, který jde od středu k obvodu. Kružnice je definovaná všemi body, které jsou přesně poloměr vzdálené od středu. Toto je také poloměr. Tento trojúhelník je rovnoramenný. Má dvě stejně dlouhé strany. Tyto dvě strany jsou rozhodně stejné. Víme, že když jsou dvě strany stejné, tak jejich úhly u základny jsou také stejné. Pak tedy i toto bude rovno Ψ. Možná to nepoznáváte, protože to je natočené. Ale myslím si, že většina z nás, když vidí takový trojúhelník a řekl bych, že toto je r, toto je také r, tyto dvě strany jsou stejné a toto je Ψ, tak byste také věděli, že tento úhel je také Ψ. Úhly u základny jsou u rovnoramenného trojúhelníku stejné. Toto je tedy Ψ, toto je také Ψ. Teď se kouknu na ten středový úhel. Toto je středový úhel vymezující stejný oblouk. Vyznačím ten oblouk, který oba vymezují. Toto je středový úhel, nazvu ho Θ. Pokud je tento úhel Θ, kolik je potom tento úhel? Tento úhel zde. Tento úhel je doplňkovým k Θ. Takže to je 180 minus Θ. Když dáte tyto dva dohromady, tak dostanete 180 stupňů. Tak nějak tvoří přímku. Jsou navzájem doplňkové. Také víme, že tyto tři úhly jsou ve stejném trojúhelníku. Takže dohromady musí mít 180 stupňů. Máme tedy Ψ… Tohle Ψ plus Ψ plus tento úhel, který je 180 minus Θ, neboli plus 180 minus Θ. Tyto tři úhly musí dát dohromady 180 stupňů. Jsou to úhly v trojúhelníku. Můžeme odečíst 180 od obou stran rovnice. Ψ plus Ψ jsou 2Ψ minus Θ je rovno 0. Přičteme Θ k oběma stranám. Máme 2Ψ je rovno Θ. Vynásobíme obě strany 1/2, nebo vydělíme obě strany 2. A máme Ψ je rovno 1/2 krát Θ. Takže jsme právě dokázali, co jsme chtěli, ve speciálním případě, kde obvodový úhel je definovaný tak, že jedna polopřímka… Pokud se na tyto přímky chcete dívat jako na polopřímky, kde jedna z polopřímek, které definuíe obvodový úhel, je průměr. Průměr tvoří část té přímky. Tohle je tedy speciální případ, kde jedna část je průměr. Můžeme to trochu zobecnit. Teď tedy víme, že pokud je toto 50, pak tohle je 100 stupňů a podobně. Cokoli je Ψ, nebo cokoli je Θ, tak Ψ bude 1/2 krát Θ, nebo cokoli Ψ je, tak Θ bude dvakrát tolik. A teď to chceme kdykoli. Můžeme to dokázat pouze s tím, co právě máme, můžeme to trochu zobecnit. I když to nebude platit pro všechny obvodové úhly. Mějme obvodový úhel, která vypadá nějak takto. V tomto případě střed, můžete se na to dívat tak, že to je uvnitř kruhu. To je obvodový úhel. A já chci vztah mezi tímto obvodovým úhlem a středovým úhlem, který vymezuje stejný oblouk. Toto je středový úhel vymezující stejný oblouk. Možná si řeknete, že žádná z těchto přímek nebo tětiv, které definují tento úhel, není průměr. Ale my ho můžeme dokreslit. Pokud je střed v těchto dvou tětivách, tak můžeme nakreslit průměr. Můžeme takto nakreslit průměr. Pokud nakreslíme průměr takto, pak definujeme tento úhel Ψ1 a tento Ψ2. Zjevně je Ψ součet těchto dvou úhlů. A tento úhel můžeme nazvat Θ1 a tento Θ2. Hned víme, jen díky tomu, co jsme už dokázali, že jelikož máme jednu tětivu našeho úhlu v obou případech průměrem, tak víme, že Ψ1 bude rovno 1/2 krát Θ1. A víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. Tedy Ψ, které je rovno Ψ1 plus Ψ2, neboli Ψ1 plus Ψ2 je rovno těmto dvěma věcem. 1/2 krát Θ plus 1/2 krát Θ. Ψ1 plus Ψ2, to je rovno prvnímu obvodovému úhlu, který nás zajímá, jenom obyčejné Ψ. To je Ψ. A toto zde je rovno 1/2 krát Θ1 plus Θ2. Co je Θ1 plus Θ2? To je naše původní Θ, které nás zajímá. Teď tedy vidíme, že Ψ je rovno 1/2 krát Θ. Teď jsme to dokázali pro trochu obecnější případ, že pokud je střed mezi dvěma tětivami, které definují úhel. Ještě jsme pořád nedokázali trochu těžší situaci, nebo více obecnou situaci, kde máme obvodový úhel a střed není mezi tětivami. Nakreslím to. Toto je můj vrchol, a změním barvy. Tady máme jednu tětivu, která definuje úhel, přesně zde. A máme druhou tětivu, která definuje úhel. Jak tedy najdeme vztah mezi… Tento úhel nazveme Ψ1. Jak najdeme vztah mezi Ψ1 a středovým úhlem, který vymezuje stejný oblouk? Když mluvím o stejném oblouku, tak to je tento zde. Tedy středový úhel, který vymezuje stejný oblouk vypadá nějak takto. Nazveme to Θ1. Můžeme udělat to, že použijeme, co jsme se právě naučili, když jedna strana úhlu je průměr. Tak to nakresleme. Nakreslím sem průměr. Chceme výsledek, že toto by mělo být 1/2 krát toto, ale dokažme to. Nakreslím zde průměr. Tento úhel nazveme Ψ2. A toto je vymezený oblouk. Udělám to tmavší barvou. Obsahuje to oblouk zde. Středový úhel, který obsahuje stejný oblouk, nazveme Θ2. Teď víme z předchozího příkladu, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. Mají stejný průměr, je přímo tady. Průměr je jedna z tětiv, které tvoří úhel. Tedy Ψ2 bude rovno 1/2 krát Θ2. Tohle je to, co jsme se snažili dělat v minulém videu, že? Tohle je obvodový úhel. Jedna z tětiv je poloměr. Tohle bude 1/2 krát tento úhel, středový úhel, který vymezuje stejný oblouk. Koukněme se teď na tento větší úhel. Tento větší úhel zde. Ψ1 plus Ψ2. Dobře, tento větší úhel je Ψ1 plus Ψ2. Toto obsahuje celý tento oblouk a průměr jako jednu tětivu, která definuje tento velký úhel. Tohle bude tedy rovno 1/2 středového úhlu, který vymezuje stejný oblouk. Používáme to, už jsme to v tomto videu dokázali. Tohle bude rovno polovině tohoto velkého středového úhlu Θ1 plus Θ2. Zatím jsme použili vše, co jsme se naučili před chvílí v tomto videu. Teď víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. Uděláme to tedy substitucí. Tohle je rovno tomuto. Můžeme říct, že to je Ψ1 plus, místo Ψ2 napíšu 1/2 krát Θ2 je rovno 1/2 krát Θ1 plus 1/2 krát Θ2. Můžeme odečíst 1/2 krát Θ2 od obou stran, a máme náš výsledek. Ψ1 je rovno 1/2 krát Θ1. A máme hotovo. Dokázali jsme, že obvodový úhel je vždycky 1/2 středového úhlu, který obsahuje stejný oblouk. Nezávisí na tom, jestli střed kružnice je uvnitř úhlu, nebo vně úhlu, jestli máme průměr jako tětivu. Jakýkoli jiný úhel může být vytvořen jako součet některých z těchto úhlů, které jsme již dokázali. Doufám, že Vám to pomohlo a teď můžeme stavět na tomto tvrzení a vytvořit zajímavější geometrické důkazy.
video