Kruhy a kružnice
Přihlásit se
Kruhy a kružnice (17/24) · 8:41

Vlastnosti tečny ke kružnici Pomocí důkazu sporem prokážeme, že úsečka spojující střed kružnice s bodem na kružnici je kolmá na tečnu procházející tímto bodem.

Navazuje na Obvod, obsah, objem II.
Tak, máme tu kružnici se středem v bodě O a potom tu máme tečnu kružnice. Označíme si ji. Pojmenujeme ji 'l'. A pak tu máme bod 'A'. V bodě 'A' se tečna dotýká kružnice. Pak jsem tu nakreslil poloměr kružnice, z jejího středu do bodu 'A'. V tomto videu chceme dokázat, že poloměr svírá s tečnou pravý úhel. Chceme dokázat, že ty dvě přímky svírají pravý úhel. V první řadě si dokážeme, že bod 'A' je nejbližším bodem přímky 'l' od středu kružnice. Takže, chceme dokázat, že bod 'A' je nejbližším bodem na 'l' k bodu 'O'. Doporučuji Vám pozastavit si toto video a zkuste, jestli to dokážete sami. Zkuste přemýšlet o jakémkoliv jiném bodu přímky 'l'. Vyberte si libovolný bod na přímce 'l'. Může to být třeba tento bod. Může to být třeba tento bod. Může to být třeba tento bod. A hned vidíme, že leží mimo kružnici. A pokud leží mimo kružnici, vyberu si třeba tento bod, aby to bylo v našem nákresu trochu zřejmější, pokud leží mimo kružnici, pokud byste se chtěli dostat z bodu 'O' do tohoto bodu, pojmenuji si ho 'B', museli byste překonat vzdálenost poloměru, a ještě kousek navíc. Takže, tato délka, délka úsečky 'OB', je určitě větší než délka poloměru, protože byste museli překonat vzdálenost poloměru, abyste se dostali na kružnici, a pak ještě kousek dál, abyste se dostali do tohoto bodu, který je mimo ni. Takže, bod 'A' je jediným bodem, což vychází z definice tečny, jejím jediným bodem, který leží na kružnici. Jakýkoliv další bod přímky 'l', který leží mimo kružnice, leží dále od jejího středu. Takže, bod 'A', snad Vám to udělá radost, protože kdybyste si vybrali jiný bod, který je mimo kružnici, měli byste od středu vzdálenost poloměru a ještě tento kus. Takže, snad Vám to udělá radost, že bod 'A' je nejbližším bodem na 'l' od středu kružnice. Tak, ještě nemáme hotovo, musíme zjistit, že pokud máme bod a přímku, tak úsečka mezi bodem a nejbližším bodem na přímce, že tato úsečka bude kolmá na přímku. Tak, udělám si tu trochu místa. Chceme dokázat, že úsečka spojující bod mimo přímku s nejbližším bodem ležícím na přímce, je k té přímce kolmá. Takže, chceme zjistit... Chceme zjistit, že pokud máme nějakou přímku 'l' a pak nějaký bod mimo přímku. Tak, chtěli jsme nějaký bod ležící mimo přímku, takže, řekněme, že je to třeba tento bod. Bod 'O'. A chceme úsečku, která spojuje tento bod ležící mimo přímku s nejbližším bodem na přímce. Takže, nejbližší bod na přímce... Řekněme, že tohle je ten nejbližší bod na přímce, a chceme, aby tahle úsečka, která je spojuje... (udělám ji jinou barvou)... ...úsečka, která je spojuje, bude kolmá na tu přímku. Takže půjde takhle přímo dolů a bude kolmá. A důkaz provedu sporem. Budu předpokládat, že úsečka na přímku kolmá není. Takže, předpokládejme, že úsečka spojující... Bude to trochu složitější... ...úsečka spojující bod ležící mimo přímku a nejbližší bod na přímce... Tak ta úsečka, na základě našeho sporu, nebude kolmá na tu přímku. Tak, jak si to představit? Můžu tady nakreslit přímku. Tohle je přímka 'l'. A tady mám svůj bod 'O' a řekněme... řekněme, že nejbližší bod na přímce 'l' k bodu 'O' je tento... A pokud spojíme tyto dva body, tak tato úsečka není kolmá k 'l'. Takže toto je nejbližší bod, budeme mu říkat bod 'A', a řekněme, že úsečka spojující tyto dva body, není kolmá na přímku. Takže předpokládejme, že toto není kolmice. Takže ani tento úhel není pravý, nemá velikost 90 stupňů. Takže toto předpokládáme, když uvažuji důkaz sporem. Pokud dokážeme, že toto není 90 stupňů, tak vždycky můžeme najít bod, který je blíže, nějaký jiný bod na přímce 'l', který by byl blíže k bodu 'O'. Což je ale ve sporu s naším předpokladem, že toto je nejbližší bod. Bod 'A' uvažujeme jako nejbližší bod na přímce 'l' k bodu 'O'. Jak vždycky najdeme bližší bod? Inu, sestrojím pravoúhlý trojúhelník. Sestrojím ho přesně takto. A vidíme, že tato vzdálenost, pojmenujeme ji třeba 'a', základnu trojúhelníka pojmenujeme třeba 'b'... udělám to ještě jinou barvou. Takže, 'a', 'b' - to je základna našeho trojúhelnika, a přepona je vzdálenost od 'O' k 'A'. Pojmenujeme ji 'c'. Pythagorova věta nám říká, že 'a' na druhou plus 'b' na druhou bude 'c' na druhou... Bude se to rovnat 'c' na druhou. Takže 'b' na druhou, pokud má být trojúhelník sestrojitelný, tak musí být 'b' na druhou kladné, a tak musí 'a' být menší než 'c'. Tohle nás přivádí k závěru... pokud má tohle kladnou hodnotu a pokud jsou 'a' i 'c' kladné, všechno jsou to kladné vzdálenosti, tak pak nám to říká, že 'a' musí být menší než 'c'. Že odvěsna pravoúhlého trojúhelníku, tedy sestrojitelného pravoúhlého trojúhelníku, pokud předpokládáme, že má nějaký obsah, bude kratší než přepona. Přepona je ta nejdelší strana. Takže 'a' bude kratší než 'c'. Pokud 'a' je kratší než 'c', tím pádem jsme našli další bod... Pojmenujeme si ho, třeba... už jsem použil spoustu písmen... Pojmenujeme si ho 'D'. Bod 'D' bude blíže. Takže, máme tu spor. Předpokládali jsme, že bod 'A' je nejbližší bod na přímce 'l' k bodu 'O' a předpokládali jsme, že úsečka, která je spojuje, na 'l' není kolmá. Pokud toto není pravý úhel, můžeme tu spustit kolmici a najít tak bližší bod, což je ve sporu s předpokladem, že bod 'A' byl uvažován jako nejbližší bod. Takže toto jasně vede ke sporu. Protože můžete zjistit, že toto není nejbližší bod. Vždycky můžete najít bod bližší. Takže tahle úsečka spojující bod mimo přímku s nejbližším bodem na přímce, musí být kolmice. Musí být kolmá. Takže úsečka spojující bod mimo přímku s nejbližším bodem na přímce, musí být kolmá na tu přímku. Musí být kolmá na přímku. Takže doufám, že chápete, že pokud máte poloměr a bod, ve kterém se tečna dotýká kružnice, tvoří tak pravý úhel. Ten průměr a tečna.
video