Příklad na výpočet obsahu rovnostranného trojúhelníku vepsaného do kružnice Při zadaném poloměru kružnice chceme zjistit obsah trojúhelníku do ní vepsaného. Pro tyto účely si zavedeme tzv. Heronův vzorec.

V tomto videu Vám chci ukázat, jak můžeme použít poznatky z posledních videí k nějakým zajímavým věcem. Dejme tomu, že toto je kružnice, a v ní mám vepsaný rovnostranný trojúhelník. Čili všechny tři jeho vrcholy leží na této kružnici. Pokusím se nakreslit rovnostranný trojúhelník co nejpřesněji. Tak, lépe to asi nepůjde. Když říkám 'rovnostranný', znamená to, že jeho strany mají stejnou délku. Čili, pokud má tato strana velikost 'a', pak i tato strana má délku 'a'. A toto je taky strana délky 'a'. Řekněme, že známe poloměr kružnice. Poloměr této kružnice je 2. Jen jsem náhodně vybral číslo. Tedy, poloměr této kružnice je 2. Vzdálenost ze středu k jakémukoli bodu na kružnici, je 2. A teď použijeme něco, co jsme se naučili v předchozích videích. A nějaké základy trigonometrie. Pokud Vás slovo "trigonometrie" děsí, měli byste si zopakovat první dvě nebo tři videa ze seznamu videí věnovaných trigonometrii, abyste mému postupu rozuměli. Chci vypočítat obsah plochy uvnitř kružnice, ale vně trojúhelníka. Chci zjistit celkový obsah této, této a této malé plochy. Zjevné je to, že můžeme jednoduše vypočítat obsah kruhu. Obsah kruhu. A ten vypočítáme jako π krát r na druhou Neboli π krát 2 na druhou, což jsou 4π. A od obsahu 4π bychom mohli odečíst obsah trojúhelníku. Teď tedy musíme tento obsah vypočítat. Jaký je obsah tohoto trojúhelníka? V jednom z minulých videí jsem Vám ukázal Heronův vzorec, který je založen na tom, že pokud znáte všechny strany trojúhelníku, můžete vypočítat jeho obsah. Ale délky stran ještě neznáme. Jakmile je budeme znát, budeme schopni vypočítat obsah. Použijeme Heronův vzorec už teď. Takže, délky stran tohoto rovnostranného trojúhelníka... jsou stejné, čili 'a'. Když aplikujeme Heronův vzorec, musíme definovat naši proměnnou 's' jako: s se rovná (a plus a plus a) lomeno 2 Což je to samé jako '3a' lomeno 2. A teď obsah trojúhelníka vyjádříme pomocí 'a'. Obsah bude roven odmocnině z 's'. Což je (3a lomeno 2) krát (s minus a). 's' minus 'a' je (3a lomeno 2) minus 'a' Neboli 2a lomeno 2 Chápete? 'a' je to samé co '2a' lomeno 2. Protože můžeme vykrátit dvojky a dostaneme 'a'. A tohle udělám třikrát. Čili místo toho, abych všechny strany roznásobil Heronovým vzorcem, můžu to zapsat jako tento výraz na třetí. Čemu se to bude rovnat? Toto bude rovno odmocnině z (3a lomeno 2) A toto bude rovno 3a minus 2a. Tedy 'a'. Jinými slovy, ('a' lomeno 2) na třetí. Toto bude rovno... jen změním barvy. Máme tu 3a krát (a na třetí), což je 3a na čtvrtou lomeno (2 krát 2 na třetí). To je 2 na čtvrtou, což je 16. 2 krát (2 na třetí) je (2 na čtvrtou) To je 16. Teď, pokud odmocníme čitatele a jmenovatele, vyjde nám, že to bude rovno odmocnině z (a na čtvrtou). Což je a na druhou. (a na druhou) krát... Zapíšeme to jako odmocnina z 3, lomeno odmocnina jmenovatele. Což je 4. Pokud tedy známe 'a', pak pomocí Heronova vzorce můžeme vypočítat i obsah rovnostranného trojúhelníka. Jak tedy zjistíme velikost 'a'? Co ještě víme o rovnostranných trojúhelnících? Víme, že všechny jeho vnitřní úhly jsou stejně velké. A protože musí mít součtem 180°, pak musí mít všechny velikost 60°. Toto je 60°, toto je 60° a toto je taky 60°. Schválně, jestli můžeme použít něco z minulého videa, ve kterém jsem mluvil o vztahu mezi obvodovým a středovým úhlem. Toto je obvodový úhel. Jeho vrchol leží na kružnici. A vymezuje tento oblouk. A tento středový úhel vymezuje ten samý oblouk. Tento středový úhel vymezuje tento oblouk. S ohledem na to, co jsme viděli v minulém videu, středový úhel, který vymezuje stejný oblouk jako obvodový úhel, bude mít oproti němu dvojnásobnou velikost. Takže tento úhel bude mít velikost 120 stupňů. Jen tu udělám šipku. 120 stupňů. Je to dvojnásobek tohoto. Chci rozpůlit tento úhel. Čili v polovině úhlu spustím takhle čáru. Jakou velikost budou mít tyto dva úhly? Budou mít 60°. Půlím tento úhel. Toto je 60° a toto je taky 60°. Víme, že půlím tuto stranu. A toto je rovnoramenný trojúhelník. Toto je poloměr. Poloměr 'r' o velikosti 2. Toto je také poloměr 'r' o velikosti 2. Tento trojúhelník je symetrický. Pokud tu spustím čáru, tak tato strana bude rozpůlena. Délka této strany bude rozdělena 2. Nakreslím to. Pokud vezmeme rovnoramenný trojúhelník, jakýkoliv rovnoramenný trojúhelník, kdy se délky těchto dvou stran rovnají... V našem případě to jsou poloměry. A velikost těchto dvou úhlů bude stejná. Pokud opět spustím z vrcholu úhlu čáru, rozpůlil bych ten úhel. Čili tyto vzdálenosti budou stejné. V našem případě, pokud je tato celá vzdálenost 'a', pak toto bude (a lomeno 2). Schválně, jestli tohle můžeme použít, tohle a trošku trigonometrie, abychom objevili vztah mezi 'a' a 'r'. Protože pokud můžeme 'a' z rovnice vyjádřit za použití 'r', můžeme pak 'a' vložit sem a zjistíme obsah našeho trojúhelníku. A pak budeme moct odečíst tento obsah od obsahu kruhu a budeme hotovi. A budeme mít vyřešený tento příklad. Tak schválně, jestli to půjde. Máme tady úhel o velikosti 60°. Tedy polovinu tohoto středového úhlu. Pokud má tento úhel velikost 60°, pak má jeho protější strana velikost a lomeno 2. Takže jeho protější strana má velikost a lomeno 2. Známe také přeponu. Je to pravoúhlý trojúhelník. Spouštíte tu vlastně kolmici, když půlíte úhel. Toto je pravoúhlý trojúhelník. Takže tu můžeme použít trigonometrii. Naše odvěsna má velikost a lomeno 2, přepona má velikost 'r'- Toto je přepona našeho pravoúhlého trojúhelníka. Její velikost je 2. Takže, jaký poměr je poměr protilehlé strany ku přeponě? Někteří už tu slovní hříčku znáte, ale SOH CAH TOA. SOH - Sinus úhlu je roven protější straně (Opposite) lomeno přeponě (Hypotenuse). Dochází mi místo, tak trochu sjedu dolů. Sinus úhlu o velikosti 60 stupňů bude roven velikost protější strany, což je a lomeno 2, lomeno přepona, což je náš poloměr, tedy lomeno 2. Což se rovná (a lomeno 2) lomeno 2. Což je (a lomeno 4). Kolik je sinus 60 stupňů? A pokud slovo "sinus" neznáte, koukněte se na prvních pár videí, která se týkají trigonometrie. Pak už by to nemělo být tak cizí. Sinus 60 stupňů byste si měli pamatovat z trojúhelníků s úhly 30-60-90. Takže, jeden tu nakreslím. Toto je trojúhelník 30-60-90. Pokud je toto úhel o velikosti 60 stupňů, pak tento má velikost 30° a tento 90°. A taky si možná pamatujete, že tato strana má velikost 1, tato 1/2 a toto bude ((odmocnina ze 3) lomeno 2), Čili sinus 60 stupňů je protilehlá ku přeponě. Tedy ((odmocnina ze 3) lomeno 2), to celé lomeno 1. Sinus 60 stupňů... Pokud nemáte kalkulačku, tak můžete použít tento výraz jako číslo. Odmocnina ze 3 lomeno 2. Takže toto je odmocnina ze 3 lomeno 2. Teď toto můžeme vyřešit pro 'a'. (Odmocnina ze 3) lomeno 2 je rovna (a lomeno 4). Vynásobíme obě strany čtyřmi. Takže se čtyřky vykrátí. Násobíme 4 zde. Toto bude 2. Toto bude 1. A dostanete, že se 'a' rovná 2 krát (odmocnina ze 3). Tak, jsme skoro v cílové rovince. Zrovna jsme vypočítali délku těchto stran. Použili jsme Heronův vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku pomocí těchto délek stran. Takže nyní pouze dosadíme tyto hodnoty za 'a' a dostaneme skutečný obsah. Takže, obsah našeho trojúhelníka je 'a' na druhou. Co je to 'a' na druhou? Jsou to (2 odmocniny ze 3) na druhou krát (odmocnina ze 3) lomeno 4. (a na druhou) krát (odmocnina ze 3), to celé lomeno 4, už to máme. Toto bude rovno 4 krát 3 krát (odmocnina ze 3), to celé lomeno 4. Takže se čtyřky vykrátí. Obsah našeho trojúhelníka tedy je... Máme tu 3 krát odmocnina ze 3. Takže náš obsah je 3 krát (odmocnina ze 3). To je obsah celého trojúhelníku. A teď zpátky k zadání. Obsah této oranžové části vně trojúhelníka, ale zároveň uvnitř kružnice. Inu, obsah našeho kruhu je 4π. A od toho odečteme obsah trojúhelníku, 3 odmocniny ze 3. A máme hotovo. Toto je odpověď na naši otázku. Toto je obsah této oranžové plochy. Snad z toho máte radost.