Heronův vzorec Naučíme se nový vzorec ke zjištění obsahu trojúhelníka, když známe jen délky jeho stran. Zároveň si ho hned vyzkoušíme na příkladu.

Podle mě k všeobecným vědomostem určitě patří umět určit obsah trojúhelníku, když známe délku jeho základny a jeho výšku. Tak například toto je můj trojúhelník a tato délka tady (tato základna) má délku 'b' a výška tady má délku 'h'. Je všeobecně známé, že obsah tohoto trojúhelníka se bude rovnat jedna polovina krát základna krát výška. Takže například kdyby měla základna délku 5 a výška 6, tak by náš obsah byl 1/2 krát 5 krát 6, a to je 1/2 krát 30 - a to se rovná 15. No a co už tolik známé není, je způsob, jak zjistit obsah trojúhelníku, když znáte jen délky stran trojúhelníku. Když neznáte jeho výšku. Tak například, jak zjistíte obsah trojúhelníku, když vám dám jen délky stran. Řekněme, že toto je strana 'a', strana 'b' a strana 'c'. 'a', 'b', 'c' jsou délky těchto stran. Tak jak zjistíte obsah? Abychom ho zjistili, použijeme něco, co se nazývá Heronův vzorec. V tomto videu ho nebudu dokazovat. Dokážu ho až v dalším videu. Na to dokazování už máte všechny potřebné nástroje. Ve skutečnosti potřebujete jen Pythagorovu větu a hodně vzrušující algebry. Ale teď vám jen ukážu ten vzorec a jak ho používat a potom snad uznáte, že je dost jednoduchý a jednoduše zapamatovatelný. A může to být pěkný trik na ohromování lidí. Takže Heronův vzorec říká, že máme nejdříve vypočítat tuto třetí proměnnou 'S', to je v podstatě obvod tohoto trojúhelníku děleno 2. ('a' plus 'b' plus 'c') děleno 2. Když už znáte 'S', obsah vašeho trojúhelníku - toho trojúhelníku tady - bude se rovnat odmocnině z 'S' - této proměnné 'S', té, kterou jste právě vypočítali krát 'S' minus 'a' krát 'S' minus 'b' krát 'S' minus 'c'. Toto je Heronův vzorec. Toto spojení. Dám to do rámečku. Takže toto je Heronův vzorec. Působí trochu skličujícím dojmem, rozhodně je trochu více skličující než jen 1/2 krát základna krát výška. Vyzkoušejme to na jednom nebo dvou příkladech a uvidíte, že ve skutečnosti to není tolik zlé. Tak řekněme, že mám trojúhelník. Vzorec nechám tady nahoře. Řekněme, že mám trojúhelník se stranami délky 9, 11 a 16. Tak použijme Heronův vzorec. 'S' v tomto případě bude obvod děleno 2. Takže (9 plus 11 plus 16) děleno 2. To se rovná 9 plus 11 - to je 20 - plus 16 je 36, děleno 2 je 18. A obsah podle Heronova vzorce se bude rovnat odmocnině z 'S' (18 krát (18 minus 9) krát (18 minus 11) krát (18 minus 16) A to se bude rovnat odmocnině z 18 krát 9 krát 7 krát 2. Což se rovná - podívejme se, 2 krát 18 je 36. Je to trochu přeuspořádám. Toto se rovná odmocnině z (36 krát 9 krát 7), což se rovná odmocnině z 36 krát (odmocnina z 9 krát odmocnina ze 7). Odmocnina z 36 je 6. Toto je 3. A nemáme tu žádné odmocniny ze záporných čísel, neboť nemůžete mít záporné délky stran. Takže toto se bude rovnat 18 krát odmocnina ze 7. Takže jen tak, viděli jste to, s použitím Heronova vzorce. Trvalo to jen pár minut, možná ještě méně, zjistit, že obsah tohoto trojúhelníka se rovná 18 krát odmocnina ze 7. Snad to i vám přišlo celkem šikovné.