Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (3/27) · 11:03

Příprava k doplňování na čtverec Předtím než si ukážeme takzvanou úpravu na čtverec, vypočítáme ještě několik kvadratických rovnic ve speciálním tvaru (x-číslo)² = číslo. Ty řešíme nejprve odmocněním a poté vyjádřením 'x'.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
V tomhle videu si ukážeme několik příkladů kvadratických rovnic, které mají zvláštní tvar, jako malé rozehřátí pro následující video, které se týká doplnění na čtverec. Podívejme se, co mám na mysli. Řekněme, že budeme mít (4x plus 1) na druhou mínus 8 se rovná 0. Teď možná na základě všeho, co jsme doposud udělali, budete v pokušení tohle vynásobit, pak odečíst 8 od konstanty, kterou tady dostaneme, a pak to zkusit rozložit na součin. A pak bysme měli (x mínus něco) krát (x mínus něco jiného) se rovná 0. A pak si řeknete, aha, jeden z nich musí být roven 0, takže x by mohlo být to nebo ono. Tak to ale tentokrát dělat nebudeme, protože tady si můžete všimnout něčeho zajímavého. Ono se to dá vyřešit bez rozkladu na součin. A jak to udělat? Tak co se stane, když přidáme 8 na obě strany této rovnice? Pak levá strana rovnice bude (4x plus 1) na druhou, tyhle osmičky se vyruší. Na pravé straně bude pouze kladná 8. Co teď můžeme udělat s oběma stranami rovnice? A tohle je takový přímý způsob řešení rovnic. Nejde o žádný nóbl rozklad na součin. Obě strany můžeme odmocnit. Takže 4x plus 1... Prostě jen odmocníme obě strany. Určíme druhou odmocninu obou stran, a samozřejmě, chceme určit kladnou a zápornou druhou odmocninu, protože 4x plus 1 by mohla být kladná druhá odmocnina z 8, nebo by to mohla být záporná druhá odmocnina z 8. Tak tedy 4x plus 1 se rovná plus mínus druhá odmocnina z 8. Místo 8, zapišme 8 jako 4 krát 2. Víme, že je to to samé jako 8, a samozřejmě druhá odmocnina ze (4x plus 1) na druhou je 4x plus 1. Takže dostáváme 4x plus 1 se rovná... 4 můžeme rozložit, nebo odmocnit, což jsou 2. ...se rovná +-2 krát druhá odmocnina ze 2, správně? Druhá odmocnina ze 4 krát odmocnina ze 2 je to samé jako druhá odmocnina ze 4 krát druhá odmocnina ze 2, plus nebo mínus druhá odmocnina ze 4, to je právě ta 2 tady. Možná to vypadá jako dost bizarní rovnice, s tím +-2 krát odmocninou ze 2, ale opravdu není. Tohle jsou ve skutečnosti dvě čísla, a my vlastně řešíme zároveň dvě rovnice. Můžeme to zapsat jako 4x plus 1 se rovná 2 krát odmocnina ze 2, nebo 4x plus 1 se rovná -2 krát odmocnina ze 2. Tento zápis je to samé, co tyto dva, protože tady máme to +-, buď a nebo. Pojďme obě rovnice vyřešit zároveň. Pokud odečteme 1 od obou stran této rovnice, co dostaneme? Na levé straně akorát 4x. Na pravé straně máme... Vlastně nemůžeme matematicky... Chci říct, můžeme to spočítat s kalkulačkou, ale necháme to prostě ve tvaru -1 plus nebo mínus odmocnina, vlastně 2 krát odmocnina ze 2. Tomu se rovná 4x. Pokud bysme to počítali tady jako dvě oddělěné rovnice, je to to samé. Odečteme 1 od obou stran rovnice, dostaneme 4x se rovná -1 plus 2 krát odmocnina ze 2. Tato rovnice, odečteme 1 od obou stran. 4x se rovná -1 mínus 2 krát odmocnina ze 2. Tento zápis je naprosto ekvivalentní těmto dvěma zápisům. A teď poslední krok, už musíme jen vydělit obě strany čtyřmi, takže vydělíme obě strany čtyřmi a dostaneme x se rovná -1 plus nebo mínus 2, krát odmocnina ze 2, lomeno 4. Tento zápis je zase naprosto to samé, jako kdybychom vydělili každou z těchto rovnic čtyřmi, a dostaneme x se rovná -1 plus 2 krát odmocnina ze 2, lomeno 4. To je jedno řešení. A další řešení je x se rovná -1 mínus 2 krát odmocnina ze 2, to celé lomeno 4. Tento zápis a tyto dva zápisy jsou shodné. A pokud chcete, tak klidně... Pojďme do jedné z rovnic dosadit, abysme se ujistili, že něco tak bizarního jako tyto výrazy, může být řešením hezké, jednoduše vypadající rovnice jako je tato. Takže pojďme dosadit. 4 krát x, nebo 4 krát mínus 1, plus 2 krát odmocnina ze 2, lomeno 4, plus 1, to celé na druhou, mínus 8 se rovná 0. A teď, tyhle čtyřky se vyruší, takže nám zbyde -1 plus 2 krát odmocnina ze 2, plus 1, to celé na druhou, mínus 8 se rovná 0. Tahle záporná a tahle kladná jednička se vyruší, takže budeme mít 2 odmocniny ze 2 na druhou, mínus 8 se rovná 0. A co to teď tady vlastně máme? Když tohle umocníme, budeme mít 4 krát 2 mínus 8 se rovná 0, což je pravda. 8 mínus 8 je 0. A když dosadíme do druhé rovnice, dostaneme úplně stejný výsledek. Dáme si další příklad. Pamatujte, tohle je speciální tvar, kde máme ve výraze druhé mocniny dvojčlenů. A podíváme se, že celá kvadratická rovnice je vlastně odvozená od této představy, protože ve skutečnosti můžeme libovolnou kvadratickou rovnici přepsat na dokonalý čtverec, který se rovná něčemu jinému. Uvidíme to zhruba za 2 další videa. Ale předtím se trochu rozehřejeme další ukázkou. Řekněme, že budeme mít x na druhou mínus 10x plus 25 se rovná 9. A znovu, pokušení, a není to špatné pokušení, by bylo odečíst 9 od obou stran, čímž byste dostali 0 na pravé straně, ale předtím než to uděláte, rychle si to prohlédněte. A řekněte si, hele, není tohle náhodou třeba dokonalý čtverec? A vidíte... Tak když vynásobím která dvě čísla, dostanu 25 a když je sečtu, dostanu -10? A doufejme, že vám naskočí -5. Takže tenhle výraz je vlastně (x mínus 5) krát (x mínus 5). Takže levou stranu můžeme přepsat jako (x mínus 5) na druhou, a pravá strana je pořád 9. A tohle chci opravdu zdůraznit. Nechci zničit všechen ten trénink rozkládání na součin, kterým jste dosud prošli. Tohle se dá opravdu použít pouze pokud se jedná o dokonalý čtverec. Pokud budete mít třeba (x mínus 3) krát (x plus 4) a to by se rovnalo 9, tak to by byla slepá ulička. S tím byste nic moc konstruktivního neudělali. Jen díky tomu, že se jedná o dokonalý čtverec, můžeme říct (x mínus 5) na druhou se rovná 9 a můžeme obě strany odmocnit. Takže můžeme říct, že x mínus 5 se rovná + nebo -3. Přidáme 5 k oběma stranám rovnice a dostaneme x se rovná 5 + nebo -3, nebo x se rovná... Kolik je 5 plus 3? No, x by mohlo být 8, nebo by mohlo být x rovno 5 mínus 3 neboli rovno 2. Tuhle kvadratickou rovnici jsme mohli spočítat tradičním způsobem, ke kterému nás to svádělo. Co se stane, když odečteme 9 od obou stran rovnice? Dostaneme x na druhou mínus 10x. A kolik je 25 mínus 9? 25 mínus 9 je 16, a to by se rovnalo 0. A odtud, to by byl už klasický problém rozkladu na součin, způsob, jaký jsme viděli v několika posledních videích. Vezmeme-li součin kterých dvou čísel, tak dostaneme +16, a když je sečteme dostaneme -10? A možná vám naskočí -8 a -2. Takže (x mínus 8) krát (x mínus 2) se rovná 0. Takže x může být rovno 8 nebo 2. To je na algebře to zábavné: výpočet můžete provést dvěma naprosto odlišnými způsoby, ale dokud to budou algebraicky správné způsoby, tak nedostanete jiné výsledky. A pokud tenhle případ rozeznáte, tak je to do jisté míry ulehčení, protože nemusíte v hlavě hrát tu malou hru: ach jo, když vynásobíme která dvě čísla, dostaneme 16, a když je sečteme, dostaneme -10? V tomhle případě si prostě řeknete OK, tohle je x mínus 5... Nakonec to asi musíte udělat. Musíte si říct, jo, 5 krát 5 je 25, a -10 je -5 plus -5. Takže to beru zpátky, stejně tu malou hru v hlavě hrát musíte. Takže pojďme na další příklad. Uděláme si ještě jeden takový, abychom se opravdu pěkně rozehřáli. Takže, řekněme, že máme x na druhou plus 18x plus 81 se rovná 1. Opět jako předtím to můžeme udělat dvěma způsoby. Můžeme odečíst 1 od obou stran nebo si uvědomit, že tohle je vlastně (x plus 9) krát (x plus 9). Tady je 9 krát 9 to je 81, 9 plus 9 je 18. Takže můžeme rovnici zapsat jako (x plus 9) na druhou se rovná 1. Určíme druhou odmocninu obou stran, dostaneme x plus 9 se rovná + nebo -odmocnina z 1, což je 1. Takže x se rovná... Odečteme 9 od obou stran, -9 plus nebo mínus 1. A to znamená, že x se může rovnat -9 plus 1 je -8, nebo se x může rovnat -9 mínus 1, což je -10. A opět, lze to vypočítat i tradičním způsobem. Mohli jsme odečíst 1 od obou stran rovnice a pak bychom dostali x na druhou plus 18x plus 80 se rovná 0. A řekli byste si, hele, 8 krát 10 je 80, 8 plus 10 je 18, takže máme (x plus 8) krát (x plus 10) se rovná 0. A pak bysme dostali, že x se může rovnat -8, nebo se x může rovnat -10. Na zahřátí to bylo dobré. A teď myslím, že teď už jsme připravení vypořádat se s doplňováním na čtverec.
video