Nerovnice s absolutní hodnotou 2 Další příklad, na kterém si můžeme procvičit absolutní hodnoty v nerovnicích.

Vyřešte tuto nerovnici 'p' jako neznámou. Absolutní hodnota z (p minus 12) plus 4 je menší než 14. Pojďme to vyřešit po krocích. Nejdříve budeme chtít oddělit část s absolutní hodnotou. K tomu se budeme chtít zbavit této 4. To můžeme udělat tak, že od obou stran nerovnice odečteme 4. Na levé straně se čtyřky odečtou. Zůstane nám tam jen ta absolutní hodnota z (p minus 12). Na pravé straně máme 14 minus 4, což je 10. Nerovnítko zůstává beze změny. Úprava nám dává toto: absolutní hodnota z (p minus 12) je menší než 10. Zamysleme se teď na tím. Co kdybychom měli jednodušší nerovnici, absolutní hodnota z 'x' je rovna 10, co nám to říká? Znamená to, že vzdálenost mezi 'x' a 0 je menší než 10. Vyznačím to na číselné ose, tady udělám 0. Můžeme zajít nejvýše k 10. Protože x musí být menší než 10. Tady máme kladných 10 a naše číslo je menší. Přesně 10 už je moc, my tam máme ostrou nerovnost. To samé můžeme udělat i do minus 10. Ani minus 10 však nemůžeme zahrnout, ze stejného důvodu. Absolutní hodnota z minus 10 není menší než 10, ale minus 9 nebo minus 9.999, a tak dále, už ano. Absolutní hodnota ze všech těchto čísel bude menší než 10. Tuto nerovnost můžeme přepsat jako: 'x' je větší než minus 10, a zároveň menší než 10 Nebo to můžeme také zapsat jako interval. Minus 10 je jakási spodní hranice, která není zahrnutá v našem intervalu. 'x' je větší než tato minus 10, ale zároveň je menší než 10. Takto můžeme také zapsat, že absolutní hodnota z 'x' je menší než 10. Říká nám to, že 'x' musí být někde mezi minus 10 a 10. Přičemž to nesmí být ani minus 10, ani 10. Protože tam nemáme zároveň rovnítko. Tu samou logiku můžeme použít zde. Místo 'x' tu ale máme 'p minus 12' v absolutní hodnotě. Můžeme tuto nerovnici přepsat jako minus 10 je menší než (p minus 12), a to je menší než 10. K vyřešení této složené nerovnosti nám už stačí jen osamostatnit 'p'. Osamostatníme ho tak, že se zbavíme této minus 12. Proto přičtu 12 ke všem třem částem složené nerovnosti. Tím získáme... ...minus 10 plus 12 je 2. To je menší než... ...'p' minus 12 plus 12, to je 'p'. A to je menší než... ...10 plus 12, to je 22. Výsledkem je, že 'p' je větší než 2 a menší než 22. Nakresleno na číselné ose to bude vypadat nějak takto. Tady bude číslo 2, tady bude 22, nakreslím tu přibližně i nulu. Víme, že 'p' je větší než 2. Zase tam chybí to rovnítko, proto kolečko kolem dvojky nevybarvuji. A zároveň je menší než 22 a zase tam je nevybarvené kolečko. A vezmeme všechno uprostřed. Pojďme udělat zkoušku. Zkusíme dosadit číslo z výsledného intervalu. Co třeba 12? 12 se určitě nachází na fialovém intervalu. Pojďme tedy za 'p' dosadit 12. Dostáváme, že absolutní hodnota z (12 minus 12) plus 4 je menší než 14. Což je 0 plus 4, a to má být menší než 14. 4 je rozhodně menší než 14. Pro 12 to mělo fungovat a funguje. 0 by naopak fungovat neměla, pojďme to vyzkoušet. Dostáváme, že absolutní hodnota z 0.... ...napíšu to jinou barvou. Dostáváme, že absolutní hodnota z (0 minus 12) plus 4 by neměla být menší než 14. Toto by nemělo platit. Bude tady absolutní hodnota z minus 12 plus 4 by neměla být menší než 14. Měl by tu vyjít rozpor. Vyjde nám 12 plus 4 je menší než 14. Tedy 16 je menší než 14, což neplatí. Ukázali jsme si tedy, že 0 nefunguje. Pokud vezmu číslo mimo výsledný interval, nerovnost nebude splněna a naopak.