Racionální mocniny I
Přihlásit se
Racionální mocniny I (2/16) · 8:46

Odmocniny vyšších řádů Už víme, jak si poradit z druhou odmocninou. Existuje však i třetí a vyšší odmocnina. Pojďme si ukázat, jak se s nimi pracuje.

Navazuje na Výrazy s mocninami.
Dosud platilo, že když jsme se bavili o odmocninách, používali jsme jen druhou odmocninu. Viděli jsme, že když napíši znak odmocniny a pod něj dám devítku, znamená to druhou odmocninu z 9, což jsou 3. Také je na to možné nahlížet, jako na kladnou odmocninu z 9. Co z toho vyplývá je, že když to napíšeme tímto způsobem, tak počítáme s druhou odmocninou. Také jsem to mohl zapsat takto. Znak odmocniny jsem mohl zapsat i takto a sem zapsat 2, což znamená druhá odmocnina, konkrétně druhá odmocnina z 9. Najdi něco, co když umocním na druhou dostanu 9. Znak odmocniny nemusí nutně znamenat jen druhou odmocninu. Index můžete měnit a počítat tak libovolnou odmocninu. Například, kdybych se vás zeptal... ...asi Vám došlo, že tohle znamená třetí odmocnina z 27... Co je tohle? No, to je nějaké číslo, které kdybych umocnil na třetí, dostal bych 27. No a jediné číslo, které když umocníte na třetí a máte 27 je 3. 3 krát 3 krát 3 je rovno 27. 9 krát 3 je 27. Takže podobně udělám ještě jeden. Když bych měl 16... ...udělám to v jiné barvě... ...a chtěl bych získat čtvrtou odmocninu z 16, jaké číslo násobené samo sebou čtyři krát je rovno 16? Když vás to hned netrkne, můžete si pomoci rozkladem na prvočísla, abyste na to přišli. 16 je 2 krát 8. 8 je 2 krát 4. 4 je 2 krát 2. Takže toto se rovná čtvrté odmocnině z 2 krát 2 krát 2 krát 2. Máte zde tyto čtyři 2. No, když máte čtyři 2 násobené mezi sebou čtvrtá odmocnina z toho celého musí být rovna 2. Výsledek by byl stejný, i kdyby se jednalo o záporné dvojky. Také by to fungovalo. Stejně jako máte několik druhých odmocnin, máte i několik čtvrtých. Ale stupeň odmocniny vyplývá z jejího indexu. Již v minulosti jsme zjednodušili tradiční druhé odmocniny. Nyní bychom měli být schopni zjednodušit i odmocniny vyššího řádu. Pojďme jich pár vyzkoušet Řekněme, že chci zjednodušit výraz pátá odmocnina z 96. Jak jsem již říkal, rozložme si to nejdříve na prvočísla. 96 je 2 krát 48. To je 2 krát 24. To je 2 krát 12 To je 2 krát 6. To je 2 krát 3. Takže výraz je roven výrazu pátá odmocnina z 2 krát z 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 3. Nebo další způsob, jak k tomu můžete přistupovat je nahlížet na to jako na zlomkovou mocninu Jako na mocninu ve tvaru zlomku. Už jsme o tom mluvili. Toto je to samé, jako 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 3, to celé na (1 lomeno 5). Udělejme v tom jasno. Mít n-tou odmocninu čísla je ekvivalentní tomu mít to samé číslo na (1 lomeno n). Toto jsou ekvivalentní výrazy. Takže máte-li toto na (1 lomeno 5), je to stejné jako (2 krát 2 krát 2 krát 2 krát 2) na jednu pětinu. krát 3 na 1/5. Teď mám něco, co je násobené. Mám dvojku, která je mezi sebou násobená 5 krát a to mám umocněné na (1 lomeno 5). To budou 2. Nebo-li pátá odmocnina z tohoto bude 2. Takže tohle bude 2. A tohle zůstane jako 3 na (1 lomeno 5). 2 krát 3 na (1 lomeno 5), což už moc zjednodušit nelze. Pokud chceme ale zachovat zápis odmocniny, můžeme to zapsat jako 2 krát pátá odmocnina ze 3. Pojďme zkusit další. Vložím do toho nějaké proměnné. Řekněme, že chceme zjednodušit šestou odmocninu z 64 krát x na osmou. Nejprve udělejme 64. 64 je rovna 2 krát 32, což je 2 krát 16, což je 2 krát 8, což je 2 krát 4, což je 2 krát 2. Takže máme 1, 2, 3, 4, 5, 6. To je dohromady 2 na šestou. Takže je to ekvivalentní šesté odmocnině z 2 na šestou, to je ta 64, krát x na osmou. Nyní, šestá odmocnina ze 2 na šestou je jednoduchým výpočtem. Takže tahle část bude rovna 2. Bude to tedy rovno 2 krát šestá odmocnina z x na osmou. A jak zjednodušit toto? No, x na osmou je stejné jako x na šestou krát x na druhou. Základ je stejný, takže se exponenty sčítají. Šikovně jsme si rozložili x na osmou. Takže toto bude rovno 2 krát šestá odmocnina z x na šestou krát krát x na druhou. Šestá odmocnina, tahle část tady, šestá odmocnina z x na šestou, je x. Takže to je rovno 2 krát x krát šestá odmocnina z x na druhou. Nyni to můžeme zjednodušit ještě více, když se nad tím zamyslíme. Pamatujte si, že tento výraz je možné zapsat také jako x na druhou na (1 lomeno 6). A jestli si pamatujete pravidla pro počítání s exponenty, tak když něco umocňujete a to celé umocňujete znovu, tak je to to samé, jako x na 2 krát (1 lomeno 6). Nebo, napíšu to takhle na 2 krát (1 lomeno 6). Což je to samé... ...jen nesmím zapomenout na ta 2x. Takže mám 2x zde a 2x zde. A to je to samé, jako 2x krát x na (2 lomeno 6). Chceme-li to zapsat v základním tvaru dostaneme 2x krát x na 1 lomeno 3. Kdybyste to chtěli zapsat jako odmocninu, je to rovno 2 krát 2x krát třetí odmocnina z x. Nebo, byste mohli říct, že bychom mohli vyjít z tohoto bodu. Můžeme napsat toto. Ignorujme to, co jsme dělali dříve A můžeme říct, že je to to samé, jako 2 krát x na osmou to celé na (1 lomeno 6). x na osmou na (1 lomeno 6) Takže je to rovno 2 krát x na 8 krát (1 lomeno 6), potom mocníme na (8 lomeno 6). Nyní můžeme zlomek zkrátit. To bude 2 krát x na 4 lomeno 3. A tohle a tohle je ekvivalentní. Jak je to možné? Protože máme 2 krát x nebo 2 krát x na prvnou krát x na (1 lomeno 3). Sečteme 1 a (1 lomeno 3) a máme (4 lomeno 3). Doufám, že vám tenhle krátký tutoriál na téma vyšších odmocnin přišel zajímavý. A myslím, že je užitečné vidět to v tvaru rozložených prvočísel a uvědomit si, že když mám šestou odmocninu, musím najít mocněnec, co se objevuje alespoň šestkrát. A poté si uvědomím, že je to 2 na 6. Snad se vám to bude hodit.
video